![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Содержание.
- •1. Условные обозначения.
- •2. Выражения и преобразования.
- •Пусть , тогда:
- •2. Найти значение выражения , если .
- •Решение простейших уравнений и неравенств: квадратных, рациональных (дробно-рациональных).
- •Понятие модуля. Решение простейших уравнений и неравенств с неизвестным под знаком модуля.
- •Пусть , тогда:
- •27. Найти значение выражения , если .
- •1. Приведение обеих частей неравенства к одному основанию.
- •2. Вынесение общего множителя за скобки.
- •6.Тригонометрические преобразования. Таблицы значений основных тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции. Решение простейших тригонометрических уравнений.
- •7. Декартова система координат. Построение точек и прямых. Понятие функции. Свойства функций. Графики элементарных функций.
- •8. Производная. Правила дифференцирования. Таблица производных, Производная сложных функций. Исследование функции с помощью производной.
- •1. Монотонность
- •2. Экстремумы
- •3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Задачи для подготовки итоговому тесту.
Пусть , тогда:
,
;
,
целое
четное.
.
Для любого положительного числа существует, и притом только одно, такое действительное число
, что
.
Из равенства
следует, что
(и наоборот).
Пример. Вычислить:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11.
;
12.
;
13.
;
14.
;
15.
;
16.
;
17.
;
18.
;
19.
;
20.
;
21.
;
22.
;
23.
=
.
24. Найти
,
если
;
.
Пример. Вычислить
.
Решение:
.
Ответ: 1.
Пример. Вычислить
.
Решение:
Ответ: -5,5.
Пример. Вычислить
.
Решение:
Ответ: 4.
Пример. Вычислить
.
Решение:
.
Ответ: 7.
Пример. Вычислить
.
Решение:
Ответ: -16.
Пример. Вычислить
.
Решение:
.
Ответ: 48.
Пример. Найти значение выражения
,
если
.
Решение:
Ответ: -5.
Для самостоятельного решения:
1. Вычислить:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11.
;
12.
;
13.
;
14.
15.
;
16.
;
17.
;
18.
;
19.
;
20.
;
21.
;
22.
;
23.
;
24. Найти
,
если
,
.
25.
.
26.
.
27. Найти значение выражения , если .
Показательная и логарифмическая функции.
Определение: Функция, заданная
формулой
,
где
называется показательной функцией
с основанием
.
Основные свойства показательной функции.
Область определения показательной функции – множество действительных чисел: = .
Множество значений показательной функции – множество всех положительных действительных чисел:
=
.
При
показательная функция возрастает (рис.1), то есть если
, то
.
При
показательная функция убывает (рис.2), то есть если , то
.
|
Определение: Функция, заданная
формулой
,
где
- независимая переменная,
,
называется логарифмической
функцией с основанием
.
По определению логарифма выражение
означает то же, что и выражение
,
то есть логарифмическая функция есть
обратная функция по отношению к
показательной.
Основные свойства логарифмической функции.
Область определения логарифмической функции – множество всех положительных действительных чисел: =
.
Множество значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел: =
или = .
При логарифмическая функция возрастает (рис.3), то есть если
, то
.
При логарифмическая функция убывает (рис.4), то есть если , то
.
|
Пример. Найти область определения
функции:
.
Решение: Поскольку логарифмическая функция определена только для положительных чисел, а корень квадратный – для неотрицательных чисел, задача сводится к решению системы неравенств:
.
Ответ:
.
Пример. Найти область определения
функции:
.
Решение: Область определения данной функции находится из системы:
.
.
Ответ:
.
Логарифмирование и потенцирование.
При решении показательных логарифмических уравнений особенно часто используются два преобразования: потенцирование и логарифмирование. Эти преобразования не являются равносильными переходами.
Логарифмированием уравнения
по основанию
(
)
называется переход от уравнения
к уравнению
.
При этом область существования (ОДЗ)
уравнения сужается, так кЮак логарифмы
существуют только у положительных
чисел.
Например,
но
.
Уравнения
и
не равносильны, так как имеют разные
множества решений.
Потенцированием называется переход от уравнения к уравнению . При этом область определения расширяется, так как второе уравнения может существовать при любых , а первое – только при положительных.
Поэтому: если
и
или
,
то
.
Из равенства функций и положительности
оной из них следует положительность
другой, поэтому проверяем условие
положительности только той функции,
для которой это сделать проще.
Если , то , и .
Итак, получаем:
Показательные уравнения.
Из монотонности показательной функции следует что
.
Пример. Решить уравнение
Решение: Преобразуем степени и решим получившееся квадратное уравнение:
Ответ:
.
Пример. Решить уравнение
Решение: Запишем ОДЗ:
Преобразуем показатели и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
(на ОДЗ)
Оба корня принадлежат ОДЗ.
Ответ: -1; 2.
Пример. Решить уравнение
.
Решение: Это уравнение удается
решить, используя то, что левая часть
является строго убывающей функцией,
которая любое положительное значение
принимает ровно один раз. Подбором
убеждаемся, что
Ответ: -1.
Пример. Найти сумму решений
уравнения
.
Решение: Так как обе части уравнения положительны в ОДЗ, прологарифмируем уравнение по основанию 5:
Следовательно, сумма решений равна значению единственного решения.
Ответ: 2.
Пример. Решить уравнение:
.
Решение: Прологарифмируем уравнение, например, по основанию 2. Тогда:
Ответ:
.
Пример. Решить уравнение:
.
Решение: Заметим, что
,
,
.
Пусть
,
тогда уравнение примет вид:
Сделаем замену:
,
,
тогда получим:
Возвращаемся к неизвестной :
Ответ:
.
Для самостоятельного решения:
1. Укажите произведение всех корней уравнения:
.
Ответ:2.
2. Решить уравнение:
Решение: Преобразуем правую часть уравнения, выделив полный квадрат под знаком внешнего корня:
.
Тогда исходное уравнение равносильно уравнению:
Ответ:5,-3.
3. Решить уравнение:
Решение: Заметим, что
,
сделаем замену
,
тогда исходное уравнение будет
равносильно:
.
Имеем два уравнения:
Ответ:-2;2.
4. Решить уравнение:
Решение: Заметим, что
,
поэтому исходное уравнение имеет решение
.
Левая часть является строго убывающей
функцией, которая любое положительное
значение принимает ровно один раз,
следовательно, найденное решение
является единственным.
Ответ:3.
Показательные неравенства.
Решение простейших показательных
неравенств основано на свойствах
монотонности показательной функции
.
Если , то функция является возрастающей, следовательно, справедливо утверждение:
Если , то функция является убывающей, следовательно, справедливо утверждение:
Рассмотрим некоторые виды показательных неравенств и методы их решения.