![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Содержание.
- •1. Условные обозначения.
- •2. Выражения и преобразования.
- •Пусть , тогда:
- •2. Найти значение выражения , если .
- •Решение простейших уравнений и неравенств: квадратных, рациональных (дробно-рациональных).
- •Понятие модуля. Решение простейших уравнений и неравенств с неизвестным под знаком модуля.
- •Пусть , тогда:
- •27. Найти значение выражения , если .
- •1. Приведение обеих частей неравенства к одному основанию.
- •2. Вынесение общего множителя за скобки.
- •6.Тригонометрические преобразования. Таблицы значений основных тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции. Решение простейших тригонометрических уравнений.
- •7. Декартова система координат. Построение точек и прямых. Понятие функции. Свойства функций. Графики элементарных функций.
- •8. Производная. Правила дифференцирования. Таблица производных, Производная сложных функций. Исследование функции с помощью производной.
- •1. Монотонность
- •2. Экстремумы
- •3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Задачи для подготовки итоговому тесту.
Понятие модуля. Решение простейших уравнений и неравенств с неизвестным под знаком модуля.
Модуль и его свойства.
1. Определение модуля числа:
.
2. Геометрически
есть расстояние от точки
числовой оси до начала отсчета – точки
.
3.
есть
расстояние между точками
и
числовой оси.
4. Модуль произведения, частного и степени.
.
5.
.
Уравнения, содержащие знак модуля.
Уравнения, содержащие знак модуля, можно условно классифицировать по видам, в зависимости от расположения знака модуля. Рассмотрим некоторые виды таких уравнений и методы их решения.
Уравнения вида
. Наиболее рациональный путь решения – переход к совокупности
Уравнения вида
можно двумя способами заменить равносильными условиями: 1)
2)
Выбор способа замены зависит от того,
какое из неравенств
или
решить легче.
Уравнения вида
. Их решение состоит в возведении обеих частей уравнения в квадрат, так как по свойству модуля
. Тогда
Уравнения вида
. Уравнения этого вида можно решать, используя замену
.
Пример. Решить уравнение
Решение: Исходное уравнение равносильно совокупности:
Решая эти уравнения, получим корни
.
Ответ: .
Пример. Решить уравнение
Решение: Данное уравнение равносильно системе:
.
Решая эти уравнения, получим корни
.
Выберем из них те, которые удовлетворяют
условию
.
Ответ:
.
Пример. Решить уравнение
Решение: Поскольку в уравнении функция, стоящая под знаком модуля, проще, то лучше записать уравнение, как совокупность двух систем:
.
Уравнение из первой системы совокупности
корней не имеет. Решая уравнение, находим,
что
Ответ:
Пример. Решить уравнение
Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат:
Ответ:
Пример. Решить уравнение
Решение: Так как , данное уравнение примет вид:
Сделаем замену:
получим новое уравнение:
,
которое имеет два положительных корня
.
Значит,
,
откуда
.
Ответ:
Дополнительные задачи:
1. Решите уравнение
.
Решение:
.
Ответ:
.
2. Найти сумму целых решений
уравнения
.
Решение:
.
Целое решение только одно: 4, поэтому сумма решений равна значению единственного целочисленного решения: 4.
Ответ:
.
3. Найти сумму всех корней
уравнения
.
Решение:
Сумма корней равна
.
Ответ:
.
4. Решите уравнение
.
Решение:
.
Ответ:
.
5. Решите уравнение
.
Решение: заметим, что
,
решим уравнение:
.
Ответ:
.
6. Укажите наибольший корень
уравнения
.
Решение: Расставим знаки выражений, стоящих под знаком модуля, на промежутках:
Теперь легко раскрыть модули и получить соответствующие уравнения на промежутках:
1)
.
2)
3)
.
Отсюда следует, что наибольшим корнем является число 2.
Ответ:
.
7. Решите уравнение
.
Ответ:
.
Для самостоятельного решения:
Решить уравнения:
|
|
|
|
|
|
|
|
Неравенства, содержащие знак модуля.
Перечислим некоторые частные случаи неравенств, содержащих знак модуля, и рассмотрим методы их решения.
Неравенство вида
, где
и
- некоторые функции, равносильно системе
В частности, неравенство
при любом
равносильно системе:
или
При
неравенство не имеет решений.
Неравенство вида
, где и - некоторые функции, равносильно совокупности:
В частности, неравенство
равносильно совокупности:
При неравенство выполняется для всех при которых функция имеет смысл.
Неравенство вида
равносильно неравенству
. Преобразуя последнее неравенство, получим:
,
которое решается методом интервалов.
Неравенство вида
можно решать, используя замену
.
Пример. Решить неравенство
Решение: Запишем систему, равносильную исходному неравенству:
Ответ:
.
Пример. Решить неравенство
Решение: Запишем систему, равносильную исходному неравенству:
Ответ:
.
Пример. Решить неравенство
.
Решение: Приведем исходное
неравенство к виду
:
Перейдем к равносильной системе:
,
Имеем:
Решение первого неравенства системы
является любое
,
а решением второго является
или
Ответ:
.
Пример. Решить неравенство
.
Решение: Запишем совокупность, равносильную исходному неравенству:
Решая первое неравенство методом
интервалов, получаем
или
.
Ответ:
.
Пример. Решить неравенство
.
Решение: Из свойств модуля
следует, что неравенство
равносильно неравенству
.
Поэтому исходное неравенство равносильно
,
откуда
.
Ответ:
.
Пример. Решить неравенство
.
Решение: Неравенство
равносильно исходному. В полученном
неравенстве перенесем все члены в одну
сторону и применим формулу разности
квадратов:
.
Так как
для всех
,
то полученное неравенство равносильно
.
Решая его методом интервалов, получаем
ответ.
Ответ:
.
Пример. Решить неравенство
.
Решение: Введем замену . Тогда исходное неравенство имеет вид:
.
Вернемся к переменной и получим следующую совокупность:
Ответ:
.
Дополнительные задачи:
1. Решите неравенство
.
Решение:
.
Ответ:
.
2. Решите неравенство
.
Решение: воспользуемся следующим условием равносильности:
.
.
Ответ:
.
Для самостоятельного решения:
1. Решить неравенство:
.
Ответ:
.
2. Решить неравенство:
Ответ:
.
3. Решить неравенство:
Ответ:
.
Понятие логарифма, свойства логарифмов, логарифмические преобразования. Показательная и логарифмическая функции. Логарифмирование и потенцирование. Простейшие показательные и логарифмические уравнения.
Определение: Логарифмом данного
числа
по данному основанию
называется показатель степени
,
в которую нужно возвести основание
,
чтобы получить данное число
.
.
Определение: Десятичным
называется логарифм по основанию 10 и
обозначается
.
Натуральным называется логарифм по
основанию
и обозначается
.
Свойства логарифмов.
Пусть
.
Основное логарифмическое тождество:
.
Логарифм произведения, частного и степени:
;
четное
целое.
Формула перехода к новому основанию. Пусть
Тогда:
,
в частности,
,
при
.
Кроме того,
.