§ 83. Взаимное расположение трех плоскостей

Пусть относительно общей декартовой системы координат заданы три плоскости общими уравнениями:

;

;

.

Введем следующие обозначения:

И обозначим главные векторы данных плоскостей так:

.

На основании предыдущего получаем следующие необходимые и достаточные признаки взаимного расположения трех плоскостей.

1. Если , то три данные плоскости имеют и притом только одну общую точку, т.к. в случае система (1) имеет и притом только одно решение: это решение, т.е. координаты единственной общей точки, принадлежащей трем данным плоскостям, мы получим, решив систему (1) (например по формулам Крамера) (рис. 129 а).

2. Если , и среди главных векторов нет коллинеарных, то система несовместна ; плоскости попарно пересекаются, причем прямые пересечения попарно различны (рис. 129 б).

3. Если ; , но среди главных векторов есть два коллинеарных (они не могут быть все три коллинеарны, так как ), то система несовместна; причем две плоскости параллельны а третья их пересекает (рис. 129 в).

4. Если , и среди главных векторов нет коллинеарных, то плоскости попарно различны и проходят через одну прямую (рис. 129 г).

5. Если , и среди главных векторов есть два коллинеарных, то две плоскости совпадают, а третья их пересекает (рис. 129 д).

6. Если , но коэффициенты любой пары из уравнений (1) непропорциональны, то плоскости попарно параллельны (рис. е).

7. Если , но среды уравнений (1) есть только два, коэффициенты которых пропорциональны, то две плоскости совпадают, а третья им параллельна (рис. ж).

8. Если , то все плоскости совпадают (рис. з).

Клетеник № 989