§8. Двойственные задачи.

Любая задача ЛП имеет двойственную Max  (=) min  (=)

Правила

1. Если исходная задача на максимум, то двойственная на минимум – и наоборот.

2. В двойственной задаче столько переменных, сколько ограничений в исходной, причем эти переменные соответствуют ограничениям – и наоборот.

3. Коэффициентами целевой функции двойственной задачи являются правые части ограничений исходной.

4. Матрица коэффициентов ограничений двойственной задачи получается транспонированием матрицы коэффициентов ограничений исходной задачи.

5. Правыми частями ограничений двойственной задачи являются коэффициенты целевой функции исходной.

6. Ограничениям-неравенствам в исходной задаче соответствуют неотрицательные переменные двойственной задачи, а ограничениям-равенствам – переменные любого знака – и наоборот.

Схема пары двойственных задач

f(x) = 3x₁ + 12x₂ + 5x₃ + x₄  max  g(y) = 5y₁ + 7y₂  min

x₁ + 2x₂+ x₃ + x₄  5  y₁  0

5x₁ + 4x₂+ x₃ +2x₄  7  y₂  0

x₁  0  y₁ + 5y₂  3

x₂  0  2y₁ + 4y₂  12

x₃  0  y₁ + y₂  5

x₄  0  y₁ + 2y₂  1

Основное неравенство двойственности f(x)  g(y)

Теорема. Если исходная задача имеет оптимальный план Х^, то двойственная задача тоже имеет оптимальный план У^, и их целевые функции на этих оптимальных планах равны: f(Х^) = g(У^)

Теорема. Если исходная и двойственная задачи имеют планы Х и У, то они имеют и оптимальные планы, и f(Х^) = g(У^)

Симметричные и несимметричные двойственные задачи

§9. Признаки оптимальности для двойственных задач.

1 признак. Пусть Х – план исходной задачи, У – план двойственной. Если f(Х) = g(У), то это оптимальные планы.

Сопряженные ограничения – расположенные на одной строке в схеме.

2 признак. Для того, чтобы планы Х и У исходной и двойственной задач были оптимальны, необходимо и достаточно, чтобы на этих планах хотя бы одно из каждой пары сопряженных ограничений выполнялось как строгое равенство.

Экономический смысл

у₁^ - скорость изменения целевой функции ( максимальной суммарной стоимости продукции ) при изменении запаса 1-го ресурса и т.д.

у₁^ > 0 – 1-й ресурс полностью используется в производстве

В последней симплекс-таблице можно найти оптимальные значения двойственных переменных в индексной строке под соответствующими добавленными переменными ( в случае несимметричной задачи – под искусственной переменной).