§5. Симплекс-таблица для канонической задачи.

Цены	Базис	План	х1	х2	х3	х4	Заглавная строка
			с1	с2	с3	с4
с3	х3	b1	a11	a12	1	0	Ограничения
с4	х4	b2	a21	a22	0	1
Значение f(x)		d0	d1	d2	d3=0	d4=0	Индексная строка

f(x) = d₀ – d₁x₁ – d₂x₂ d₀ = c ^. b, d₁ = c ^. p₁ – c₁, d₂ = c ^. p₂ – c₂, d₃ = c ^. p₃ – c₃ = 0, d₄ = c ^. p₄ – c₄ = 0

Каноническая задача  симплекс-таблица

Т.1. В индексной строке нет отрицательных  план оптимален и задача на максимум решена

Т.2. В ИС есть отрицательное число, в столбце над которым нет положительных  f(x) не ограничена, решений нет

§6. Алгоритм симплекс-метода.

0. Симплекс- таблица, индексная строка

1. Нет отрицательных чисел в ИС – задача решена

2. Есть отрицательное число, над которым нет положительных – решений нет

3. В ИС есть отрицательные числа, в столбцах над которыми есть хотя бы по одному положительному – план можно улучшить (найти другой базисный с большим значением f(x) )

Улучшение а) выбор ключевого столбца (над отрицательным числом ИС), т.е. переменной, которая

войдет в число базисных

б) выбор ключевого элемента из положительных чисел ключевого столбца (знаменатель

наименьшей дроби «элемент столбца План / соотв. положительный элемент ключевого столбца)

Строка ключевого элемента покажет переменную, которая выйдет из числа базисных

в) пересчет элементов новой таблицы с новым базисом и вычисление ИС с помощью

нового вектора цен

В новой таблице окажется или 1., или 2., или 3.

Невырожденный оптимальный план – в столбце небазисной (свободной) переменной d_i = 0

Т. Если оптимальный план невырожденный, то он не единственный

§7. Метод искусственного базиса. М-метод.

Неканоническая задача – неизвестно, есть ли у нее планы

Вспомогательная задача – с искусственными базисными переменными z₁, z₂,… в уравнениях, не имеющих исходной базисной переменной (см., например, задачу о диете)

Цель вспомогательной задачи – минимизация суммы z₁ + z₂ + … , или J(z) = z₁ – z₂ …  max

Если оптимальный план вспомогательной задачи содержит среди базисных вспомогательные переменные, то исходная задача не имеет планов.

Если все искусственные переменные вышли из базиса, то найден базисный план исходной задачи, т.е. можно решать исходную (с первоначальной целевой функцией f(x))

М-метод позволяет решать одновременно основную (исходную) и вспомогательную задачи. Целевая функция f₁(x)=f(x) + M^.J(z)  max, где М – большое положительное число.

Если вспомогательная переменная вышла из базиса, то далее можно не вычислять ее столбец симплекс-таблицы.

Теорема о трех альтернативах.

В любой задаче ЛП 3 и только 3 возможных исхода

1. Область планов пуста

2. Целевая функция не ограничена на области планов

3) Задача имеет оптимальный план