3. Розглянемо операції, за допомогою яких із двох або більше простих вис­ловлень можна будувати складені, та правила встановлення їх значень істин­ності.

Кон’юнкцією двох висловлень А і В називається складене висловлення (читається А і В), яке істинне тоді і тільки тоді, коли істинні обидва висловлення А і В, що його утворюють, і хибне в усіх інших випадках.

Кон’юнкцію двох висловлень дістають з двох простих, об’єднавши їх словом «і». Наприклад: «Середня лінія трикутника паралельна його основі і дорів­нює її половині»; «24 - парне число і ділиться на 6».

Кон’юнкцію у математичній логіці називають логічним добутком. Значення істинності кон’юнкції висловлень можна подати за допомогою таблиці :

А	В
І	І	І
І	X	X
X	І	X
X	X	X

Наприклад, висловлення: «Число 15 - парне і ділиться на 3» має логічну структуру , де А - просте висловлення: «Число 15 – парне»; В – «Число 15 ділиться на 3». Значення істинності висловлення = X, бо А – Х, В – І.

Диз’юнкцією двох висловлень називається складене висловлення (читається А або В), яке хибне тоді і тільки тоді, коли хибні обидва висловлення А і В, і істинне, якщо хоч би одне із них істинне.

Диз’юнкцію двох висловлень дістають, об’єднавши їх словом «або». Наприклад: «Рівняння х²-4=0 має корінь 2 або -2»; «Я поїду до Києва автобусом або поїздом».

Значення істинності операції диз’юнкції двох висловлень можна подати за допомогою таблиці:

А	в
І	І	І
І	X	І
X	І	І
X	X	X

Наприклад: висловлення «5 > 2» має логічну структуру , що є диз’юнкцією двох висловлень; А: «5 більше 2», В: «5 дорівнює 2»; значення істинності його – І, бо А – X, В – І, а тому за означенням диз’юнкції –І.

Заперечення висловлення А є таке висловлення , яке істинне тоді і тільки тоді, коли А - хибне, і хибне, якщо А - істинне.

Наприклад, дано висловлення: А – «Десна - притока Дніпра», тоді висловлення – «Десна не є притокою Дніпра» або «Неправильно, що Десна є притокою Дніпра» - є запереченням даного висловлення.

Таблиця істинності для заперечення висловлення А має вигляд:

А
І	X
X	І

Наприклад:

А – «Число 3 є дільником числа 39» - істинне висловлення, тобто А = І, тоді його заперечення – «Число 3 не є дільником числа 39» за означенням – хибне висловлення : – X.

Імплікацією висловлень А і В називається висловлення «якщо А, то В», позначається так: А=> В, яке хибне тоді і тільки тоді, коли А - істинне, а В - хибне.

Наприклад, висловлення: «Якщо два кути вертикальні, то вони рівні»; «Якщо 25 < 42. то 42 > 25» є імплікаціями. Вони мають логічну структуру «А => В». Знак " =>" - це знак відношення слідування.

У шкільному курсі математики доводиться дуже часто мати справу з імплікаціями. Так, наприклад, кожна теорема є імплікацією висловлень. В імплікації: «А => В», висловлення А називається умовою або посилкою, а висловлення В - висновком або наслідком. Таким чином, імплікація буде хибним висловленням лише тоді, коли з правильної посилки дістанемо неправильний висновок.

Таблиця істинності для імплікації має такий вигляд :

А	В	А=> В
І	І	І
І	X	X
X	І	І
X	X	І

Запис А => В читають по-різному: «з А слідує В»; «В слідує з А»; «якщо А, то В», «є А, отже, є і В».Наприклад, висловлення «Якщо число а ділиться на 9, то воно ділиться на 3» можна прочитати і так: «3 того, що число а ділиться на 9, слідує, що воно ділиться і на 3» або «Число а ділиться на 3 слідує з того, що воно ділиться на 9», «Число а ділиться на 9, отже, воно ділиться і на 3».

Якщо з висловлення А слідує висловлення В, то кажуть, що В - необхідна умова для А, А- достатня умова для В.

А => В

В - необхідна умова для А

А - достатня умова для В

Якщо з висловлення А слідує висловлення В, а із висловлення В слідує висловлення А, то кажуть, що висловлення А і В рівносильні.

Висловлення «А рівносильне В» записують за допомогою знаку "<=>". Запис «А <=> В» читають так: «А рівносильне В», «А тоді і тільки тоді, коли В». Якщо висловлення А і В рівносильні, то кажуть, що А необхідна і достатня умова для В і навпаки. Таку операцію називають еквіваленцією.

Еквіваленцією двох висловлень А і В називається таке висловлення А<=>В, яке істинне тоді і тільки тоді, коли обидва висловлення А і В мають однакові значення істинності.

А	В
І	І	І
І	Х	Х
Х	І	Х
Х	Х	І

Наприклад: висловлення – «Число х ділиться на 3 тоді і тільки тоді, коли сума цифр цього числа ділиться на 3» - є еквіваленцією. Воно має логічну структуру А <=> В, де А - це висловлення : «Число х ділиться на 3», а В - це висловлення: «Сума цифр числа х ділиться на 3». Істинність цього тверджен­ня доводиться.

Висновок: у множині речень є особливі речення, які відіграють важливу роль у науці, це – висловлення, які розрізняються на прості і складені; складені утворюються з простих різними зв’язками; існують закони логіки, які дозволяють встановлювати істинність або хибність висловлень.