Означення. Добутком матриць а і в називається матриця с, елементи сij якої дорівнюють сумі добутків елементів I-го рядка матриці a на відповідні елементи j-го стовпця матриці b, тобто (
Добуток
матриці
на матрицю
позначають АВ
(
).
Множення матриці
на матрицю
виконується
за такою схемою:
Тут елемент знаходять як скалярний добуток елементів -го рядка матриці A на відповідні елементи -го стовпця матриці .
Добуток матриць характеризується властивостями:
1.
2.
3.
(некомутативність);
4.
(асоціативність);
5.
(дистрибутивність);
6.
.
Ця властивість має місце для довільного числа множників
7. Визначник добутку двох квадратних матриць рівний добутку їх визначників.
Приклад 6. Знайти
добутки
і
,
якщо
і
переконатись, що
.
Розв’язування.
Аналогічно
Звідси
випливає, що
.
Приклад 7. Знайти добуток AB, якщо
Розв’язування.
(Тут добуток BA невизначений, оскільки кількість стовпців першої матриці не дорівнює кількості рядків другої матриці).
Приклад 8. Знайти
добуток
,
якщо
Розв’язування.
(Легко переконатись, що має місце і рівність EA=A).
Приклад 9. Знайти добуток AB, якщо
.
Розв’язування. Добуток цих матриць можливий, оскільки кількість стовпців матриці A дорівнює кількості рядків матриці B. Одержимо
Приклад 10. Задано
матрицю
Знайти А2.
Розв’язування.
Зауваження 1. Добуток двох матриць може бути нульовою матрицею і тоді, коли кожна із матриць співмножників не є нульовою.
Приклад 11. Знайти добуток матриць:
Зауваження 2 . Добуток двох діагональних матриць одного і того ж порядку є діагональна матриця того ж порядку.
Приклад 12. Знайти добуток діагональних матриць:
Тоді
Для таких двох матриць добуток комутативний:
Приклад
13. Торговельно-будівельна
компанія уклала договір на будівництво
6 житлових будинків, 3 офісних будинків
і 4 будинків відпочинку. Ціни на окремі
види матеріалів такі:цегла
– 32 у.о./тис. шт., цемент – 300у.о./т., ліс
круглий - 44у.о./
,
оцинковане залізо - 6 у.о./
,
скло - 5 у.о./
.
Інформація про кількість матеріалів на кожний вид будівництва представлена в таблиці:
Вид будови
|
Цегла (тис. шт.) |
Цемент (т) |
Ліс круглий (м2) |
Оцинковане залізо (м2) |
Скло (м2) |
Житловий будинок |
78 |
9 |
41 |
210 |
120 |
Офісний будинок |
84 |
10 |
40 |
200 |
140 |
Будинок Відпочинку |
60 |
8 |
35 |
180 |
160 |
Портібно знайти:
1)загальну кількість матеріалів;
2)ціну матеріалів для кожного виду будови;
3)загальну вартість матеріалів.
Розв’язування. 1) Запишемо у вигляді матриці дані, які характеризують кількість матеріалів на кожний вид будови, а дані про ціни їх у вигляді матриці-стовпця С.
.
Позначимо дані про договір, укладений на будівництво
споруд
через
Щоб знайти загальну кількість матеріалів для будівництва, потрібно перемножити матриці і і знайти добуток , тобто
Таким чином, для виконання договору на будівництво 6 житлових, 3 офісних і 4 будинків відпочинку компанія повинна придбати: 960 тис. шт. цегли;116 т цементу; 506 м3 круглого лісу; 2580 м2 оцинкованого заліза і 1780 м2скла.
2) Щоб знайти загальну вартість матеріалів для кожного виду будівництва, потрібно перемножити матрицю на матрицю-стовпець , складену із чисел, які характеризують ціни на
відповідні матеріали :
Вартість матеріалів для будівництва житлового будинку становить 8860 у.о., для будівництва офісу – 9348 у.о. і для будівництва будинку відпочинку - 7740 у.о.
3) Для того, щоб знайти загальну вартість будівництва згідно договору 6 житлових, 3 офісних і 4 будинків відпочинку потрібно знайти добуток матриць
Це саме число можна одержати ще так:
Таким чином, загальна вартість всієї будови становить 112164 у.о.