§ 4. Поняття матриці

Матрицею називається прямокутна таблиця із чисел, яка містить рядків та стовпців, взята в квадратні або круглі дужки.

(1.2)

Або коротко

В цьому випадку вважають, що матриця має розмірність . Матриці позначають великими латинськими буквами

Числа називаються елементами матриці, де перший індекс означає номер рядка, а другий - номер стовпця. Якщо кількість рядків не рівна кількості стовпців, тобто , то матриця називається прямокутною, розмірності , а якщо - квадратною. В цьому випадку число називається порядком матриці. Елементи квадратної матриці, в яких утворюють головну діагональ.

Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елементи, крім елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, тобто

Тут окремі елементи головної діагоналі можуть бути нульовими.

Я

кщо в діагональній матриці всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, то її називають одиничною матрицею. Вона позначається буквою і має вигляд

Дві матриці А і В називаються рівними, якщо вони мають рівну кількість рядків та стовпців і відповідні елементи яких співпадають.

Матриця, в якої всі елементи дорівнюють нулю, називається нуль-матрицею або нульовою. ЇЇ позначають буквою О.

Якщо матриця складається тільки з одного рядка, то вона називається матрицею-рядком.

Матриця, яка складається з одного стовпця, називається матрицею-стовпцем.

Якщо в матриці А поміняти рядки на стовпці, а стовпці – на відповідні рядки, то одержану матрицю називають транспонованою і позначають

Якщо визначник квадратної матриці дорівнює нулю , то матриця А називається виродженою (або особливою) і при невиродженою (або неособливою).

М

називається

верхньою

трикутною,

атриця вигляду

називається нижньою

трикутною.

а матриця

Матрицю

називають матрицею трапецеїдального вигляду, якщо одночасно відмінні від нуля.

Приклад 1. Задано матриці :

1) , 2) 3)

4) , 5) , 6)

Тут:

1.  прямокутна матриця розмірності ;

2. транспонована матриця до матриці ;

3. матриця-стовпець;

4. матриця-рядок;

5. діагональна матриця четвертого порядку;

6. нульова матриця другого порядку.

Приклад 2. Для виготовлення п’яти видів ялинкових прикрас на фабриці витрачається певна кількість матеріалу. Конкретні цифрові дані вказані в таблиці:

Матеріал	1	2	3	4	5
Скло (кг)	2,5	3,0	2,8	4,0	1,8
Залізні прищіпки (к-ть)	180	192	185	410	156
Фарба (кг)	1,3	1,5	1,4	2,0	1,0

Охарактеризувати зміст рядків та стовпців цієї таблиці.

Розв’язування. Вказані 15 чисел можна записати у вигляді прямокутної матриці розмірності .

.

Кожен рядок і стовпець цієї матриці мають певний економічний зміст. Так, елементи першого рядка вказують кількість витраченого скла ( в кг) на виготовлення кожного із п’яти видів ялинкових прикрас. Числа другого рядка вказують на потреби в кількості залізних прищіпок, які потрібні на виготовлення цих виробів. Елементи третього рядка характеризують потреби фарби (в кг) , яка використовується при виготовленні відповідного виду продукції.

Стовпці матриці вказують на конкретну кількість скла, залізних прищіпок та фарби, які потрібні на виготовлення кожного із п’яти видів ялинкових прикрас.

Так, наприклад, елементи третього стовпця означають, що на виготовлення прикрас третього виду потрібно 2,8 кг скла, 185 шт. залізних прищіпок і 1,4 кг фарби.

Приклад 3. Ціни на деякі види товару характеризуються у гривнях, доларах США(USD), євро(EUR), англійських фунтах(GBR) і рублях Росії(RUR).

Вид товару	Грн.	USD	EUD	GBR	RUR
Чоловіча куртка	1230	232,1	238,8	155,3	7318,5
Жіноча кофта	120	22,6	23,3	15,2	714
Спортивний костюм	320	60,4	62,1	40,4	1904
Чоботи	415	78,3	80,30,3	52,4	1592,8

Охарактеризувати зміст окремих елементів таблиці.

Розв’язування. Числові дані цієї таблиці можна записати у вигляді прямокутної матриці:

Кожний елемент має певний економічний зміст. Наприклад, елемент означає, що жіноча кофта коштує 120 гр., елемент означає, що спортивний костюм коштує 60,4 доларів США, а елемент вказує на ціну чобіт в 52,4 англійських фунтів.

Елементи, наприклад, першого рядка визначають ціни чоловічої куртки в різних грошових одиницях: 1230 грн.;232,1 доларів США; 238,8 євро; 155,3 англійських фунтів; 7318,5 рублів Росії.