§ 3. Обчислення визначників довільного порядку

Визначником -го порядку називається число, яке дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка або стовпця, на відповідні алгебраїчні доповнення.

При цьому мають місце формули розкладу визначника за елементами його довільного рядка (або стовпця) (1.1).

Означення визначника -го порядку взято за метод його обчислення.

Приклад 1. Обчислити визначник 4-го порядку:

Розв’язування.Розкладемо визначник за елементами другого рядка:

Кожен із цих визначників обчислимо, ще раз використавши формулу Лапласа. Перший та третій визначники розкладемо за елементами другого рядка:

Четвертий визначник розкладемо за елементами третього рядка:

Отже,

Як бачимо, обчислення визначника 4-го порядку зводиться до обчислення чотирьох визначників 3-го порядку, а обчислення визначника 5-го порядку - до обчислення п’яти визначників 4-го порядку або двадцяти визначників 3-го порядку. Тому доцільно спочатку перетворити визначник так, щоб в одному з рядків (або стовпців) всі елементи, крім одного, стали нульовими. Цього можна досягти, використавши властивості визначників.

Таким чином, обчислення визначника го порядку зводиться до обчислення лише одного визначника -го порядку.

Приклад 2. Обчислити визначник, використавши його властивості:

Розв’язування. Від елементів третього стовпця віднімемо відповідні елементи першого стовпця, а до елементів четвертого стовпця додамо відповідні елементи першого стовпця, помножені на “-2”.

Одержаний визначник 3-го порядку можна обчислити, наприклад, за правилом Саррюса, або звести до визначника 2-го порядку, віднявши від елементів другого і третього стовпців відповідні елементи першого стовпця

Одержали значно легшим шляхом той же результат визначника.

Приклад 3. Обчислити визначник 5-го порядку

.

Розв’язування. Додамо до елементів першого стовпця відповідні елементи третього стовпця, помножені на “-2”, а від елементів четвертого стовпця віднімемо потроєні елементи третього і від п’ятого – віднімемо елементи третього. В результаті одержимо

Додамо до елементів першого стовпця відповідні елементи четвертого стовпця, помножені на “5”, від елементів другого стовпця віднімемо відповідні елементи четвертого стовпця, а до елементів третього стовпця додамо відповідні елементи четвертого стовпця, помножені на число “4”.

Додамо до елементів другого рядка подвоєні елементи першого рядка:

Отже, визначник

Визначник го порядку можна обчислити, звівши його до трикутного вигляду.

Означення. Визначником трикутного вигляду називається визначник, в якого нижче (або вище) головної діагоналі всі нульові елементи, тобто:

ТЕОРЕМА. Визначник трикутного вигляду дорівнює добутку діагональних елементів.

Доведення. Дійсно, оскільки визначник дорівнює алгебраїчній сумі добутків його елементів, узятих по одному з кожного рядка і кожного стовпця, то єдиним відмінним від нуля доданком є добуток елементів, які стоять по головній діагоналі:

.

Довільний визначник можна звести до визначника трикутного вигляду, використавши його властивості.

Приклад 4. Обчислити визначник третього порядку, звівши його до трикутного вигляду:

Розв’язування. Поміняємо місцями елементи першого та третього рядків, змінивши знак перед визначником на протилежний:

Додамо до елементів другого та третього рядків відповідні

елементи першого рядка, помножені відповідно на “-3” і “-2”:

З третього рядка винесемо спільний множник “-3” за знак визначника і одночасно поміняємо місцями другий та третій рядки. При цьому перед визначником знак зміниться на протилежний:

Додамо до елементів третього рядка відповідні елементи другого рядка, помножені на “6”.

Звідси одержимо

Приклад 5. Обчислити визначник п’ятого порядку:

.

Розв’язування. Поміняємо місцями два перші рядки, змінивши знак перед визначником на протилежний:

Додамо до елементів другого, третього та четвертого рядків відповідні елементи першого рядка, помножені відповідно на “-2”,

“-4”,“-3”. Одержимо

Додамо до елементів третього та четвертого рядків відповідні елементи другого рядка, помножені на “-7” і “-2”.

Якщо додати елементи третього і четвертого рядків, то визначник матиме трикутний вигляд:

який дорівнює добутку елементів головної діагоналі:

25