- •Оглавление
- •Введение
- •1.Генеральная совокупность и выборка из генеральной совокупности
- •2. Выборка, ее представление и числовые характеристики
- •2.1. Представление выборки
- •2.1.1. Таблица частот и интервальная
- •2.1.2. Графическое представление выборки.
- •2.2. Числовые характеристики выборки
- •2.2.1. Выборочное среднее, мода, медиана
- •2.2.2. Квартили, декатили, персентили
- •2.2.4. О симметричных и несимметричных распределениях
- •2.2.5. Вычисление выборочного среднего и выборочной дисперсии для объединения двух выборок
- •1. , Тогда .
- •2.2.6. Общая, межгрупповая и внутригрупповая дисперсии
- •2.2.7. Кривая Лоренца и показатели концентрации
- •2.3. Задачи
- •3. Обработка результатов наблюдений по методу наименьших квадратов
- •3.1. Двумерные выборки
- •3.2. Графическое представление двумерных выборок — диаграммы рассеяния
- •3.3. Выборочный коэффициент корреляции — числовая характеристика двумерной выборки
- •3.4. Метод наименьших квадратов
- •3.5.6. Пример построения нелинейного уравнения регрессии
- •3.6. Расчет коэффициентов линейного уравнения регрессии по сгруппированным данным
- •3.7. Индекс корреляции
- •3.8. Индекс фехнера и корреляционнное отношение
- •3.9.Задачи
- •6. Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности по критерию пирсона (критерию 2)
- •6.1. Пример
- •6.2. Немного теории
- •1.3. Другие примеры
- •6.3.1. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения
- •200 Отклонений диаметра вала от номинального размера (мкм)
- •6.3.2. Проверка гипотезы о равномерном законе распределения
- •6.3.3. Проверка гипотезы о биномиальном законе распределения
- •6.3.4. Проверка гипотезы о законе распределения Пуассона
- •6.3.5. Последний пример
- •6.4. Задачи
- •10. Результаты испытаний прочности партии стальной проволоки диаметром 1,4 мм:
6.3.4. Проверка гипотезы о законе распределения Пуассона
В таблице приведены числа ni участков равной площади (0,25 км2) южной части Лондона, на каждый из которых приходилось по хi попаданий самолетов-снарядов во время второй мировой войны
(табл. 6.11).
Таблица 6.11
хi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 и больше |
ni |
229 |
211 |
93 |
35 |
7 |
1 |
Всего n = 576 участков. При уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – число самолетов-снарядов, попавших на участок, имеет распределение Пуассона.
Вероятность того, что случайная величина X, имеющая распределение Пуассона, примет значение i, равна
,
где > 0 - параметр закона, i = 0,1,2, ….
Оценим значение параметра по выборке. Так как М(Х) = , то положим = , .
Положим = 0,93. Теперь можно найти вероятности рi = р(Х = i), i = 0,1,2,3,4,5.
; ;
; ;
; .
Остальные вычисления сведены в табл. 6.12.
Таблица 6.12
i |
pi |
npi |
ni |
ni - npi |
|
0 |
0,395 |
227,5 |
229 |
1,5 |
0,01 |
1 |
0,367 |
211,4 |
211 |
-0,4 |
0,001 |
2 |
0,170 |
97,9 |
93 |
-4,9 |
0,25 |
3 |
0,053 |
30,5 |
35 |
4,5 |
0,66 |
4 |
0,012 |
|
|
-0,6 |
0,04 |
5 |
0,003 |
||||
– |
pi = 1 |
npi = 576 |
ni = 576 |
– |
2эксп = 0,96 |
Два последних значения n4 и n5, nр4 и nр5 объединены, чтобы обеспечить выполнение условия nрi 5. Таким образом, осталось 5 разных значений случайной величины: 0, 1, 2, 3 и все, что больше или равно 4. Число степеней свободы равно r = 5 - 1 - 1 = 3, так как по выборке было определено значение параметра . Тогда 2кр = 7,8 > 2эксп = 0,96. И в этом случае можно считать справедливой выдвинутую гипотезу.
6.3.5. Последний пример
Согласно закону Геллина, предложенному им в 1855 г., вероятности рождения двоен, троен и четверней есть соответственно р, р2, р3, где р – число, постоянное для данной группы населения. На основании приведенных ниже данных проверить, выполняется ли закон Геллина для многоплодных рождений среди японцев и белого населения США. В табл.6.13 через ν2, ν3, ν4 обозначены относительные частоты рождений двоен, троен и четверней соответственно за указанные периоды.
Таблица 6.13
Годы |
Население |
Число рождений |
ν2 |
ν3 |
ν4 |
1922-1936 |
Белые США |
27939615 |
0,01129 |
0,0001088 |
0,00000177 |
1926-1931 |
Японцы |
1226106 |
0,00697 |
0,0000473 |
– |
Прежде всего оценим по нашим выборкам неизвестные значения р. Положим, что сумма частот ν2 + ν3 + ν4 равна сумме , так как ясно, что р – очень маленькое число. Для белого населения США имеем:
;
; ; .
Теперь можно воспользоваться критерием 2. Нужно определить, извлечена ли выборка из генеральной совокупности X, имеющей такой закон распределения (табл. 6.14).
Таблица 6.14
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
pi |
1- p - p2 - p3 |
p |
p2 |
p3 |
Здесь р = 0,0113.
Все вычисления сведем в табл. 6.15. Частоты n1, n2, n3, n4 равны соответственно:
n1 = nν1 = 27939615* (1 - ν2 - ν3 - ν4) = 27621087,5;
n2 = nν2 = 27939615*0,01129 = 315438,25; n3 = nν3 = 3039,8; n4 = nν4 =
=49,45.
Таблица 6.15
xi |
pi |
npi |
ni |
ni – npi |
|
1 |
0,988571 |
27620293 |
27621088 |
795 |
0,02 |
2 |
0,0113 |
315717 |
315438 |
-279 |
0,25 |
3 |
0,000128 |
3576 |
3040 |
-536 |
80,34 |
4 |
0,000001 |
28 |
49 |
– |
15,75 |
– |
pi = l |
npi = 27939615 |
ni = 27939615 |
– |
2эксп = 96,4 |
Число степеней свободы r равно r = 4 - 1 - 1 = 2, 2кр = 6,0 2эксп. Расхождение велико, предложенный закон должен быть отвергнут.
Проделаем те же вычисления в случае с японцами.
ν2 + ν3 + ν4 0,00702.
Тогда ; р2 = 0,0000486; р3 = 0,00000034;
n1 = nν1 = 1226106*(1 - ν2 - ν3 - ν4) = 1217502; n2 = nν2 = 8545,96;
n3 = nν3 = 57,99; n4 = nν4 = 0.
Найдем 2эксп (табл. 6.16).
Таблица 6.16
xi |
pi |
npi |
ni |
ni -npi |
|
1 |
0,993 |
1217502 |
1217502 |
0 |
0 |
2 |
0,007 |
8544 |
9545,96 |
1,96 |
0 |
3 |
0,0000486 |
|
|
-1,96 |
0,06 |
4 |
0,00000034 |
|
|
||
– |
pi = 1 |
npi = 27939615 |
ni = 27939615 |
– |
2эксп = 0,06 |
2кр = 3,8 > 2эксп = 0,06. В этом случае гипотеза не отвергается.