- •Оглавление
- •Введение
- •1.Генеральная совокупность и выборка из генеральной совокупности
- •2. Выборка, ее представление и числовые характеристики
- •2.1. Представление выборки
- •2.1.1. Таблица частот и интервальная
- •2.1.2. Графическое представление выборки.
- •2.2. Числовые характеристики выборки
- •2.2.1. Выборочное среднее, мода, медиана
- •2.2.2. Квартили, декатили, персентили
- •2.2.4. О симметричных и несимметричных распределениях
- •2.2.5. Вычисление выборочного среднего и выборочной дисперсии для объединения двух выборок
- •1. , Тогда .
- •2.2.6. Общая, межгрупповая и внутригрупповая дисперсии
- •2.2.7. Кривая Лоренца и показатели концентрации
- •2.3. Задачи
- •3. Обработка результатов наблюдений по методу наименьших квадратов
- •3.1. Двумерные выборки
- •3.2. Графическое представление двумерных выборок — диаграммы рассеяния
- •3.3. Выборочный коэффициент корреляции — числовая характеристика двумерной выборки
- •3.4. Метод наименьших квадратов
- •3.5.6. Пример построения нелинейного уравнения регрессии
- •3.6. Расчет коэффициентов линейного уравнения регрессии по сгруппированным данным
- •3.7. Индекс корреляции
- •3.8. Индекс фехнера и корреляционнное отношение
- •3.9.Задачи
- •6. Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности по критерию пирсона (критерию 2)
- •6.1. Пример
- •6.2. Немного теории
- •1.3. Другие примеры
- •6.3.1. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения
- •200 Отклонений диаметра вала от номинального размера (мкм)
- •6.3.2. Проверка гипотезы о равномерном законе распределения
- •6.3.3. Проверка гипотезы о биномиальном законе распределения
- •6.3.4. Проверка гипотезы о законе распределения Пуассона
- •6.3.5. Последний пример
- •6.4. Задачи
- •10. Результаты испытаний прочности партии стальной проволоки диаметром 1,4 мм:
3.9.Задачи
1. Как выражаются коэффициенты линейного уравнения регрессии через выборочный коэффициент корреляции r ?
2. Показать, что выборочный коэффициент корреляции r не изменится, если значения хi, уi подвергнуть преобразованию: хi = хi + a; уi = уi + b;
i = 1,2, ... , n. Как изменится выборочный коэффициент корреляции r, если все числа хi умножить на одно и то же число d, все числа y умножить на одно и то же число b, i = 1,2, ..., n?
3. В соответствии с методом наименьших квадратов составить систему уравнений для определения коэффициентов следующих уравнений регрессии:
у = a + bex, y = a + b·sinωx + с·cosωx
(ω – заданное число), .
В задачах 4 - 19 нужно найти числовые характеристики выборки и определить (если r ≥ 0,7) коэффициенты линейного уравнения регрессии х на у, если у можно принять за независимую переменную.
4. Результаты тестирования (баллы) 10 студентов. Первый тест проверяет память (x), второй - способность к логическому мышлению (у):
xi |
5 |
8 |
7 |
10 |
4 |
7 |
9 |
6 |
8 |
6 |
yi |
7 |
9 |
6 |
9 |
6 |
7 |
10 |
7 |
6 |
8 |
5. Оценка за тест по способностям (х) шести продавцов–практикантов и результаты их работы за первый год (у) в сотнях фунтов проданного товара:
xi |
25 |
42 |
33 |
54 |
29 |
36 |
yi |
42 |
73 |
50 |
90 |
45 |
48 |
6. Снашивание (х) и твердость (у) резины в условных единицах:
xi |
21 |
15 |
12 |
22 |
5 |
yi |
5 |
6 |
7 |
4 |
8 |
7. Масса поросят (у) в килограммах в зависимости от возраста (х) в неделях:
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
yi |
2,5 |
3,9 |
5,2 |
6,3 |
7,5 |
9,0 |
10,8 |
13,1 |
8. В книге «Основы химии» Д.И.Менделеева приводятся данные о растворимости азотнокислого натрия NaNO3 в зависимости от температуры воды. Указывается, сколько условных частей NaNO3 (у) растворяется в 100 частях воды при соответствующих температурах в oС (х):
-
xi
0
4
10
15
21 .
29
36
51
68
yi
66,7
71,0
76,3
80,6
85,7
92,9
99,4
113,6
125,1
9. Средняя температура января в г. Саратове (х) и в г. Алатыре (Чувашия) (у) измерялась в течение 13 лет:
Год |
1891 |
1892 |
1893 |
1894 |
1895 |
1896 |
1897 |
xi |
-19,2 |
-14,8 |
-19,6 |
-11,1 |
-9,4 |
-16,9 |
-13,7 |
yi |
-21,8 |
-15,4 |
-20,8 |
-11,3 |
-11,6 |
-19,2 |
-13,0 |
Год |
1899 |
1911 |
1912 |
1913 |
1914 |
1915 |
― |
xi |
-4,9 |
-13,9 |
-9,4 |
-8,3 |
-7,9 |
-5,3 |
― |
yi |
-7,4 |
-15,1 |
-14,4 |
-4,1 |
-10,5 |
-7,2 |
― |
10. Средняя температура июня в г. Москве (х) и в г. Ярославле (у) измерялась в течение 40 лет:
-
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
12,0
10,8
13,9
10,1
15,0
13,8
17,2
13,9
18,1
16,0
12,0
11,3
11,2
10,0
15,0
16,0
16,9
14,8
18,4
17,8
12,0
12,0
14,0
10,0
15,5
13,9
16,9
15,0
19,2
15,0
12,0
13,0
14,0
12,0
15,9
14,7
17,0
16,0
19,3
16,1
12,8
10,9
13,0
12,4
16,0
13,0
16,8
17,0
20,0
17,0
13,8
10,0
15,0
11,0
15,9
15,0
17,5
16,0
20,1
17,7
13,1
11,5
14,9
13,0
16,0
16,0
18,0
14,0
14,0
14,8
13,0
13,0
15,9
14,2
16,9
12,9
18,0
14,0
14,0
15,2
11. Объем продажи (х) в миллиардах долларов и чистый доход (у) в миллионах долларов 20 фирм в США:
xi |
8,9 |
8,4 |
7,4 |
7,2 |
7,0 |
6,1 |
5,9 |
5,8 |
5,5 |
4,8 |
yi |
441 |
278 |
456 |
934 |
89 |
611 |
770 |
53 |
243 |
217 |
xi |
4,4 |
4,2 |
4,2 |
4,1 |
3,8 |
3,8 |
3,6 |
3,5 |
3,3 |
3,2 |
yi |
454 |
291 |
321 |
51 |
111 |
2 |
356 |
150 |
237 |
151 |
Определяется ли доход объемом продажи?
12. Среднегодовые уровни воды в озере Виктория - Ньянза (х) относительно некоторого фиксированного значения и числа солнечных пятен (у) за 1902 - 1921 гг.:
Год |
xi |
yi |
Год |
xi |
yi |
1902 |
-10 |
5 |
1912 |
-11 |
4 |
1903 |
13 |
24 |
1913 |
-3 |
1 |
1904 |
18 |
42 |
1914 |
-2 |
10 |
1905 |
15 |
63 |
1915 |
4 |
47 |
1906 |
29 |
54 |
1916 |
15 |
57 |
1907 |
21 |
62 |
1917 |
35 |
104 |
1908 |
10 |
49 |
1918 |
27 |
81 |
1909 |
8 |
44 |
1919 |
8 |
64 |
1910 |
1 |
19 |
1920 |
3 |
38 |
1911 |
-7 |
6 |
1921 |
-5 |
25 |
13. Число айсбергов, наблюдавшихся помесячно к югу от Ньюфаундленда (х) и к югу от Большой отмели (у) за 1920 г.:
xi |
3 |
10 |
36 |
83 |
130 |
68 |
25 |
13 |
9 |
4 |
3 |
2 |
yi |
0 |
1 |
4 |
9 |
18 |
13 |
3 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
14. Число разводов на 1000 жителей в 20 штатах США (у), средний доход на семью (x1) в тыс. долл.; процент городского населения (х2):
yi |
x1i |
х2i |
yi |
x1i |
х2i |
1,2 |
4,9 |
38,5 |
3,6 |
4,9 |
75 |
1,1 |
6,3 |
83,6 |
3,9 |
5,2 |
47,5 |
0,4 |
6,4 |
85,4 |
4,0 |
5,9 |
56,8 |
2,4 |
6,2 |
73,4 |
2,7 |
5,8 |
73,7 |
2,7 |
5,8 |
62,4 |
3,0 |
5,4 |
65,7 |
2,1 |
6,2 |
73,4 |
2,4 |
5,9 |
74,9 |
1,2 |
4,2 |
39,3 |
1,2 |
4,9 |
51,3 |
1,5 |
4,9 |
54,3 |
3,3 |
6,2 |
68,1 |
1,9 |
5,0 |
55,8 |
3,2 |
5,9 |
62,2 |
1,6 |
4,6 |
62,9 |
3,1 |
6,7 |
86,4 |
15. На сталелитейном заводе обследовали 15 плавок определенного сорта стали. Учитывался угар кремния (х), измеряемый в процентах, и выход стали (у), также измеряемый в процентах.
xi |
7,9 |
0,9 |
3,7 |
8,1 |
6,9 |
0,8 |
6,0 |
7,2 |
8,8 |
10,2 |
11,2 |
0,5 |
yi |
70,3 |
85,0 |
100,0 |
78,1 |
77,9 |
98,4 |
59,2 |
86,8 |
70,1 |
42,2 |
81,9 |
97,1 |
xi |
4,6 |
9,7 |
1,0 |
|
||||||||
yi |
68,2 |
92,1 |
91,2 |
|
16. Продолжительность послеоперационного лечения в клинике (у) в днях и возраст больных (х) в годах, оперировавшихся по поводу грыжи:
xi |
yi |
xi |
yi |
xi |
yi |
xi |
yi |
78 |
9 |
68 |
7 |
79 |
3 |
75 |
7 |
60 |
4 |
79 |
11 |
51 |
5 |
02 |
0 |
68 |
7 |
80 |
4 |
57 |
8 |
65 |
16 |
62 |
35 |
48 |
9 |
51 |
8 |
42 |
3 |
76 |
9 |
35 |
2 |
48 |
3 |
54 |
2 |
76 |
7 |
58 |
4 |
48 |
5 |
43 |
3 |
64 |
5 |
40 |
3 |
66 |
8 |
04 |
3 |
64 |
19 |
19 |
4 |
71 |
2 |
52 |
8 |
17. При исследовании некоторой химической реакции через каждые 5 минут определялось количество вещества (у) в %, оставшееся в системе. Подобрать коэффициенты уравнения у = а + bх + сх2, где х – время после начала реакции в минутах.
xi |
0 |
7 |
12 |
17 |
22 |
27 |
32 |
37 |
yi |
100 |
87,3 |
72,9 |
63,2 |
54,7 |
47,5 |
41,4 |
36,3 |
18. Барометрическое давление связано с высотой следующим соотношением: ,
где р - барометрическое давление на высоте z;
Т - температура;
p0 и k - параметры.
По методу наименьших квадратов оценить значения параметров k/T и р0 по результатам наблюдений, проведенных при постоянной температуре:
zi,м |
1000 |
1100 |
1200 |
1400 |
1500 |
1600 |
pi, мм рт. ст. |
640 |
595 |
504 |
363 |
310 |
267 |
19. Для исследования зависимости давления р насыщенного пара (Н/см2) от удельного объема V (м3/кг) составлена таблица опытных данных:
Vi |
3,334 |
1,630 |
0,866 |
0,423 |
0,265 |
0,170 |
0,115 |
pi |
0,482 |
1,034 |
2,027 |
4,247 |
7,164 |
11,480 |
17,600 |
Подобрать коэффициенты функциональной зависимости p = aVb.
20. Функциональная зависимость удельного сопротивления кристаллического кварца ρ (Ом·см) от абсолютной температуры Т (K) имеет вид .
Используя опытные данные, оценить значения параметров а и b.
ρ i |
5*1016 |
4*1015 |
3*1014 |
2*1013 |
2*1012 |
1,5*1011 |
1010 |
Тi |
335 |
365 |
400 |
445 |
500 |
570 |
670 |
21. Получена выборка наблюдений переменных х и у:
xi |
1 |
2 |
3 |
5 |
6 |
7 |
8 |
yi |
62,1 |
87,2 |
109,3 |
127,3 |
134,3 |
136,2 |
136,9 |
Для представления этих данных предлагается выбрать лучшую из предложенных моделей:
1) 2) 3) . 4) .
Оценить значения параметров а и b.
22. На заводе производят некоторый материал, твердость которого хотят повысить. Для этого увеличивают содержание некоторого химического вещества. Ниже приведены данные для 20 случайно отобранных образцов. Значения у – твердость образца (условные единицы), значения х – процентное содержание химического вещества относительно некоторого уровня.
xi |
18 |
18 |
18 |
6 |
20 |
9 |
11 |
22 |
17 |
17 |
yi |
72,2 |
80,1 |
69,8 |
58,2 |
79,7 |
45,6 |
58,6 |
85,4 |
80,1 |
66,7 |
xi |
19 |
14 |
22 |
8 |
22 |
11 |
24 |
14 |
24 |
5 |
yi |
79,1 |
56,4 |
82,4 |
55,2 |
107,8 |
34,4 |
115,4 |
73,5 |
99,5 |
56,8 |
Подобать коэффициенты линейного и параболического уравнений регрессии. Какое из уравнений больше соответствует экспериментальным данным?