2.3 Диференціальні рівняння пружної поверхні та внутрішні сили у полярній системі координат

Рівняння Софі-Жермен у полярній системі координат (тільки у випадку симетричного розміщення опор та навантаження) має вигляд

.

Загальний розв’язок цього рівняння існує при , тобто у випадку рівномірно розподіленого по поверхні пластини навантаження. Він має вигляд

,

де – константи інтегрування.

Із загального розв’язку можна визначити:

– кут повороту пластини

;

– внутрішні сили

;

;

.

Правила знаків цих внутрішніх сил показані на рис. 2.

Константи інтегрування є сталими для кожної ділянки пластини, де сталою є функція зовнішнього навантаження. Вони у будь-якому випадку можуть бути визначені із кінематичних та статичних крайових умов.

Кінематичними крайовими умовами є:

– умова скінченності прогинів у центрі для суцільної (без отвору) пластини. Із рівняння видно, що при перший доданок є скінченним лише при . Таким чином, для суцільних пластин . Другий доданок при є невизначеним, проте , тобто константа може не дорівнювати 0;

– умова рівності нулю прогинів на шарнірній опорі або прогинів та кутів повороту на абсолютно жорсткій опорі;

– умова рівності між собою прогинів та кутів повороту на межі двох сусідніх ділянок пластини.

Статичними крайовими умовами є взаємозв’язки між внутрішніми силами та зовнішніми навантаженнями на границі пластини.

Рисунок 2 – Додатні напрямки внутрішніх сил при згині круглої пластини

2.4 Послідовність виконання роботи та рекомендації щодо її написання

Для прямокутної пластини.

Визначити умови закріплення (кінематичні крайові умови) та величину прогину , використовуючи задане зовнішнє навантаження на поверхню пластини. Показати розподіл зовнішнього навантаження на контурі пластини.

Для цього необхідно:

– визначити циліндричну жорсткість пластини;

– перевірити рівність нулю прогинів та кутів повороту на гранях пластини та зобразити схему закріплення;

– шляхом підстановки функції прогинів у рівняння Софі-Жермен визначити константу через інтенсивність розподіленого по площі пластини зовнішнього навантаження ;

– записати рівняння внутрішніх сил та визначити їх розподіл на незатиснених гранях пластини (для шарнірно обпертих – тільки згинальний момент, для рухомого затиснення – тільки поперечну силу) та зобразити їх на схемі.

Для круглої пластини.

Побудувати епюри прогинів та внутрішніх сил для круглої пластини, знайти максимальні напруження.

Для цього необхідно:

– визначити циліндричну жорсткість пластини;

– записати рівняння прогинів пластини , використовуючи загальний розв’язок;

– записати кінематичні та статичні крайові умови, кількість яких обов’язково повинна дорівнювати кількості невідомих сталих інтегрування;

– розв’язати отриману систему алгебраїчних рівнянь;

– використовуючи рівняння  – , та отримані константи , записати рівняння прогинів та внутрішніх сил, побудувати їх епюри. При цьому визначити відповідні величини не менш ніж у 5 точках вздовж радіуса пластини;

– визначити максимальні значення внутрішніх сил та напружень.

Варіант індивідуального завдання вибирається із додатків Б та В.