1.2 Послідовність виконання роботи та рекомендації щодо її написання

У роботі необхідно дослідити, яке поле напружень і які зовнішні навантаження відповідають заданій функції напружень. Для цього потрібно:

– перевірити, чи можна задану функцію напружень використати для розв’язання плоскої задачі;

– знайти вирази для напружень за формулами Ері;

– побудувати епюри напружень у заданих перерізах та . При цьому, якщо епюра напружень є криволінійною, то треба визначити значення напружень не менше, ніж у 4-х точках за довжиною перерізу;

– визначити зовнішні сили, прикладені на всьому контурі пластини і зобразити їх на рисунку;

– перевірити рівновагу пластини під дією зовнішніх навантажень.

Варіант індивідуального завдання вибирається із додатка А.

1.3 Контрольні запитання

1. Що являють собою модуль пружності, модуль зсуву, коефіцієнт Пуассона? Як пов’язані ці величини між собою? В яких одиницях вони вимірюються?

2. Який матеріал називають ізотропним, анізотропним?

3. Яка відмінність між плоским напруженим і плоским деформованим станом?

4. Запишіть основні рівняння для обох видів плоскої задачі?

5. Яка функція називається бігармонічною?

6. Поліному якого степеня відповідає однорідний напружений стан?

7. У чому полягає закон парності дотичних напружень?

8. Навіщо застосовують функцію напружень?

9. Як можна розв’язати плоску задачу теорії пружності без застосування функції напружень?

10. Що являють собою пряма й обернена задача теорії пружності?

11. Як визначаються напрямні косинуси?

2 Згин пластин

2.1 Загальні відомості

Пластиною називають тіло, в якого один із розмірів (товщина) є значно меншим від двох інших. Задачу про згин пластин зводять до визначення прогинів, внутрішніх сил і напружень. Задача розв’язується методом переміщень, за основну невідому береться функція прогинів точок серединної площини. Поверхня, на яку перетворюється серединна площина в процесі деформування називається пружною поверхнею пластини. Рівняння цієї поверхні (функція прогинів) визначається рішенням диференціального рівняння четвертого порядку (рівняння Софі-Жермен). Внутрішні зусилля та напруження в пластині визначаються через функцію прогинів. Математичний апарат теорії згину пластин реалізується, як правило, у двох системах координат – декартовій (для прямокутних пластин) та полярній (для круглих симетрично навантажених пластин).

Згин пластин на відміну від балок відбувається у двох напрямках, причому картина згину у цих напрямках буде різною. Інтегральною кількісною характеристикою напружень у пластині є інтенсивність внутрішніх сил – внутрішні сили, що припадають на одиницю ширини перерізу.

2.2 Диференціальні рівняння пружної поверхні та внутрішні сили у декартовій системі координат

Рівняння Софі-Жермен у декартовій системі координат має вигляд

,

де – інтенсивність розподіленого по площі пластини навантаження;

– циліндрична жорсткість пластини Н·м;

, – модуль пружності та коефіцієнт Пуассона матеріалу пластини;

– товщина пластини, м.

Внутрішні сили визначаються із функції прогинів за наступними формулами:

Правила знаків цих внутрішніх сил показані на рис. 1.

Аналітичного розв’язку рівняння Софі-Жермен для декартової системи координат у загальному вигляді не існує, тому, як правило, розв’язують обернені задачі згину прямокутних пластин. При цьому задаються функцією прогинів і знаходять зовнішнє навантаження та умови закріплення, які відповідають заданій функції.

Рисунок 1 – Додатні напрямки внутрішніх сил при згині прямокутної пластини