Графоаналітичні методи Верещагіна та Сімпсона-Корноухова.

Ці методи використовуються при визначенні інтегралів типу , де під знаком інтегралу знаходиться добуток двох функцій та . Одна з цих функцій обов’язково повинна бути лінійною, а друга – поліномом не вище другого порядку. Процедура підрахування інтегралів такого типу носить умовну назву – перемноження епюр.

2.1. Метод Верещагіна

2.2. Графоаналітичний метод Сімпсона-Корноухова

Послідовність виконання роботи та рекомендації щодо її написання

Метою роботи є побудова епюр нормальних напружень у небезпечному перерізі. Варіанти завдань наведені на рис. 1 та в табл. 1, 2.

Нижче наводиться порядок виконання роботи із прикладами визначення окремих параметрів.

1 . Вибрати відповідно до варіанта схему закріплення стержня і його навантаження. Зобразити розрахункову схему. Наприклад, для варіанта 2 при дії сили розрахункова схема стержня буде мати вигляд

2. Накреслити реальну форму профілю і його розрахункову схему. Профіль слід розташовувати так, як це показано у варіанті (додаток 1). Нанести всі необхідні розміри. Наприклад:

3. Визначити площу, положення центра ваги перерізу, використовуючи його реальну форму. Для цього доцільно використати допоміжні осі . Чітко розділити реальну форму перерізу на окремі прямокутники, нанести їх центри ваги і вказати координати. Координати центру ваги всього перерізу визначаються за формулами

, .

4. Провести головні центральні осі перерізу та . Всі подальші розрахунки здійснювати в системі головних центральних осей. Провести власні центральні осі окремих елементів, які паралельні до головних центральних осей. Визначити головні центральні моменти інерції перерізу, використовуючи залежності між моментами інерції відносно паралельних осей

, .

5. Визначити положення головної нульової точки і головного полюса перерізу. Головна нульова точка для симетричних перерізів знаходиться на перетині осі симетрії та профілю. Для визначення положення головного полюса спочатку необхідно обчислити секторіально-лінійні статичні моменти:

, .

Інтеграли, які входять до цих формул, зручно обчислювати графоаналітично за методом Верещагіна або за формулою Сімпсона – Корноухова. Для цього попередньо треба побудувати епюри секторіальних площ відносно довільно взятого допоміжного полюса й епюри декартових координат та . Положення допоміжного полюса слід чітко вказати на розрахунковій схемі перерізу.

Положення головного полюса визначається за формулами

; ,

де , – відстані від допоміжного полюса до головного полюса . У випадку симетричних перерізів один або обидва із наведених вище параметрів можна не визначати, бо головний полюс лежить на осі симетрії профілю.

Наприклад: момент інерції перерізу см⁴, знайдемо розташування головного полюса К.

Секторіальні координати , бо точки , , , лежать на прямих, які проходять через полюс .

см². см².

см². см².

Секторіально-лінійний статичний момент визначаємо шляхом перемноження епюр та : на ділянках та доцільно використати метод Верещагіна, а на ділянці – формулу Сімпсона – Корноухова. На ділянках та добуток епюр дорівнює нулю.

см⁵.

см.

Головні секторіальні координати

см², см²,

см², см²,

см², см².

6. Визначити секторіальний момент інерції та момент інерції чистого кручення. Для знаходження секторіального моменту інерції попередньо будується епюра головних секторіальних координат відносно головного полюса й головної нульової точки. Ці точки повинні бути чітко вказані на розрахунковій схемі перерізу

.

Тут також зручно користуватися графоаналітичним методом, для цього треба перемножити епюру саму на себе.

Момент інерції чистого кручення

,

де – коефіцієнт форми профілю, для коритоподібного профілю .

7. Визначити згинно-крутильну характеристику перерізу.

,

де – модуль зсуву матеріалу (для сталі при ).

Наприклад, побудуємо епюру головних секторіальних координат та визначимо для наведеного перерізу. Розташування головного полюса та головної нульової точки відомо.

Секторіальний момент інерції

см⁶.

Момент інерції чистого кручення

см⁴.

Згинно-крутильна характеристика

см^–1 = 4,23 м^–1.

8. Визначити максимальні значення внутрішніх зусиль (згинального моменту і бімоменту). Залежно від схеми закріплення та навантаження (див. додаток 1) для найбільш характерних розрахункових схем визначається місце виникнення найбільшого бімоменту та його значення. Максимальне значення згинального моменту встановлюється за правилами опору матеріалів.

Н·м.

– 8,17 Н·м².

9. Побудувати епюри нормальних напружень у небезпечному перерізі тонкостінного стрижня.

Нормальні напруження визначаються за такими формулами:

– від згинального моменту або ;

– від бімоменту ;

– загальні нормальні напруження .

Визначаючи , необхідно встановити, відносно якої осі відбувається згин і з’ясувати, як проходить нейтральна лінія, які волокна стиснуті, а які – розтягнуті.

МПа;

Па = – 0,62МПа;

МПа;

Па = – 3,42МПа;

МПа; МПа.