Глава 2. Векторная алгебра.
§1. Линейные операции над векторами.
Вектором
(геометрическим)
называется направленный отрезок,
задаваемый упорядоченной парой точек
(началом и концом вектора). Обозначают
вектор
или
.
Длина отрезка, соединяющего начало и
конец вектора, называется его длиной
и обозначается
или
.
Углом между
векторами
и
называется угол
,
,
на который следует повернуть один из
векторов, чтобы его направление совпало
с направлением другого вектора, при
условии, что их начала совпадают.
Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы называются компланарными, если они расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Векторы
и
называются равными
и пишут
,
если они коллинеарны, одинаково направлены
и имеют равные длины. Векторы
и
называются противоположными
и пишут
,
если они коллинеарны, направлены в
разные стороны и имеют равные длины.
Суммой
векторов
и
называется вектор
,
соединяющий начало вектора
и конец вектора
,
при условии, что конец вектора
совпадает с началом вектора
(правило
треугольника).
Произведением
вектора
на действительное число
называется
вектор
:
1)
коллинеарный вектору
;
2)
имеющий длину
;
3)
направленный одинаково с вектором
,
если
,
и противоположно, если
.
Линейной
комбинацией векторов
и
называется вектор
,
где
- некоторые числа.
Равенство:
,
где
,
является условием
коллинеарности векторов
и
.
Равенство:
,
где
одновременно, является условием
компланарности векторов
,
и
.
2.1
Как должны быть связаны ненулевые
векторы
и
,
чтобы имело место соотношение
а)
;
б)
;
в)
.