![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 1. Линейная алгебра.
- •§ 1. Определители.
- •§ 2. Матрицы.
- •§3. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы.
- •§4. Системы линейных уравнений.
- •§ 5. Ортогональные системы векторов.
- •§ 6. Линейные операторы.
- •§ 7. Квадратичные формы.
- •§ 8. Системы линейных уравнений и неравенств.
- •Глава 2. Векторная алгебра.
- •§1. Линейные операции над векторами.
§4. Системы линейных уравнений.
…Система уравнений
вида:
называется системой
линейных уравнений с
неизвестными.
В матричной форме система имеет вид:
,
где
,
,
.
Здесь
-матрица системы,
-матрица-столбец
неизвестных,
-
матрица-столбец свободных членов. Если
,
где
- нулевая матрица-столбец (все её элементы
равны нулю), то система называется
однородной,
в противном
случае неоднородной.
Если в системе
и определитель матрицы системы
(т.е. матрица
имеет обратную
), то система имеет единственное решение,
определяемое:
а)
по формулам
Крамера:
,
,
где
-
определитель, получаемый из определителя
системы
заменой
-ого
столбца на столбец свободных членов;
б)
методом обратной матрицы
по формуле
.
Решение произвольной
системы уравнений находят методом
Гаусса. Для
этого составляют расширенную матрицу
системы
,
приписывая к матрице системы
справа столбец свободных членов
.
Затем расширенную матрицу
с помощью элементарных преобразований
над строками и перестановкой столбцов
приводят к специальному виду:
.
Если хотя бы одно из чисел
отлично от нуля, то исходная система
уравнений несовместна; если
,
то система совместна. Совместная система
имеет единственное решение, если
,
и бесконечное множество решений, если
.
Считая
базисными неизвестными,
-свободными,
бесконечное множество решений записывают
в виде общего решения, придавая свободным
неизвестным произвольные значения:
и выражая базисные неизвестные через
свободные.
Однородная
система уравнений всегда совместна,
так как имеет тривиальное решение
.
Для существования нетривиального
решения однородной системы необходимо
и достаточно, чтобы
(при
это условие означает:
).
Если
,
то однородная система имеет
линейно
независимых частных решений:
,
называемых
её
фундаментальной системой решений. Общее
решение однородной системы имеет
вид
,
где
-произвольные
постоянные. Решения
,
образующие фундаментальную систему
решений, можно получить, если в общем
решении однородной системы свободным
неизвестным придавать поочерёдно
значение
,
полагая остальные равными
.
Общее решение
неоднородной системы
может быть найдено как сумма общего
решения соответствующей однородной
системы
и произвольного частного решения
неоднородной системы:
.
В задачах 1.91-1.100 решить системы уравнений:
а) по формулам Крамера; б) методом обратной матрицы;
в) методом Гаусса.
1.91
.
1.92
.
1.93
.
1.94
.
1.95
.
1.96
.
1.97
.
1.98
.
1.99
.
1.100
.
В задачах 1.101-1.114 решить системы уравнений методом Гаусса.
1.101
.
1.102
.
1.103
.
1.104
.
1.105
.
1.106
.
1.107
.
1.108
.
1.109
.
1.110
.
1.111
.
1.112
.
1.113
.
1.114
.
В задачах 1.115-1.118 найти фундаментальную систему решений и общее решение однородных систем уравнений.
1.115
.
1.116
.
1.117
.
1.118
.
В задачах 1.119-1.122 найти общие решения неоднородных систем, используя фундаментальную систему решений соответствующих однородных.
1.119
.
1.120
.
1.121
.
1.122
.