2.2 Даны векторы и . Коллинеарны ли векторы и ?

2.3 Дано Доказать, что - трапеция.

2.4 В треугольнике дано , , точка - середина стороны . Выразить вектор через векторы и .

2.5 В треугольнике : - точка пересечения медиан треугольника, и . Разложить и по векторам и .

2.6 Векторы , служат диагоналями параллелограмма . Выразить векторы через векторы и .

2.7 В треугольнике сторона точками и разделена на три равные части . Выразить вектор через векторы и , если .

2.8 В треугольнике проведены медианы . Представить векторы через векторы и . Найти сумму векторов .

2.9 В треугольнике : и , где , . Полагая и , выразить и через векторы и .

2.10 Точки K и L служат серединами сторон и параллелограмма Выразить векторы и через векторы и

2.11 Точки и служат серединами сторон и четырехугольника Доказать, что

2.12 Дан тетраэдр Выразить через векторы вектор началом которого служит середина E ребра OA, а концом - середина F ребра BC.

2.13 Даны два треугольника и Выразить вектор соединяющий точки пересечения медиан этих треугольников, через векторы

2.14 Точки и служат серединами диагоналей и че-тырёхугольника Доказать, что

2.15 На стороне параллелограмма отложен отрезок а на диагонали - отрезок Доказать, что векторы коллинеарны и найти отношение

2.16 Дан тетраэдр ABCD. Выразить через векторы , , : а) вектор , где - медиана грани ; б) вектор где - точка пересечения медиан грани BCD.

§2. Базис и координаты вектора.

Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов, базисом на плоскости – упорядоченная пара неколлинеарных векторов, базисом на прямой – любой ненулевой вектор на этой прямой. Базис, в котором все векторы попарно перпендикулярны и имеют единичную длину, называется ортонормированным. Векторы ортонормированного базиса обозначаются: и , и называются базисными ортами.

Всякий геометрический вектор может быть разложен единственным образом по векторам базиса, коэффициенты разложения называются при этом координатами вектора в данном базисе. Например, если - базис и , то всегда существует единственное разложение: , где числа - координаты вектора в базисе , при этом пишут . Если в зафиксирован ортонормированный базис и , то равносильны записи: и (в записи вектора в координатной форме ортонормированный базис не указывают).

2.17 В трапеции отношение оснований . Принимая за базис векторы и найти координаты векторов

2.18 Вне плоскости параллелограмма взята точка В базисе из векторов найти координаты:

а) вектора где -точка пересечения диагоналей параллелограмма; б) вектора где - середина стороны

2.19 Дан тетраэдр . В базисе из рёбер , и найти координаты вектора , где - точка пересечения медиан основания .

2.20 В трапеции отношение оснований . Принимая за базис векторы найти координаты векторов

2.21 В тетраэдре медиана грани делится точкой в отношении . Найти координаты вектора в базисе из рёбер , , .

2.22 Дан треугольник , , . Прямая пересекает в точке . Найти координаты вектора в базисе из векторов и .

2.23 Заданы векторы Найти разложение по базису вектора :

а) б) в)

2.24 Зная разложение векторов и по трем некомпланарным векторам и проверить, будут ли векторы и компланарны:

а)

б) ;

в)

2.25.Даны векторы Подобрать числа так, чтобы векторы образовывали замкнутую ломаную линию, если начало каждого последующего вектора совместить с концом предыдущего.

2.26. Даны три некомпланарных вектора . Вычислить значения , при которых векторы , компланарны.

§3. Длина вектора. Направляющие косинусы. Координаты точки. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении.

Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называется совокупность точки (начало координат) и правого ортонормированного базиса и обозначается . Прямые , , , проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются координатными осями: – осью абсцисс, – осью ординат, – осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями. Базис -называется правым, если из конца вектора кратчайший поворот от вектора к виден совершающимся против хода часовой стрелки, в противном случае он – левый.

Проекцией вектора на вектор называется число . Ортом вектора , называется вектор , имеющий единичную длину и направление вектора : .

Пусть - произвольная точка пространства, в котором введена система координат = . Радиус-вектором точки называется вектор , представляемый единственным образом в виде: , где числа являющиеся координатами радиус-вектора, совпадают с проекциями вектора на базисные орты и (на координатные оси и ): ; ; . Координатами точки в системе координат называются координаты её радиус-вектора и пишут . В свою очередь, координаты точки полностью определяют её радиус-вектор .

Всякий геометрический вектор в системе координат , всегда можно представить как радиус-вектор некоторой точки и записать в виде: . Представление геометрических векторов в координатной форме, позволяет выполнять действия над ними, как над арифметическими векторами, по формулам:

;

.

Условие коллинеарности (параллельности) векторов и , заданных координатами, записывается в виде: , .

Длина вектора , определяется формулой: . Направляющими косинусами вектора называются числа: , , , при этом .

Координаты вектора , заданного двумя точками и находятся по формуле: .

Расстояние между точками и определяется как длина вектора и находится по формуле: .

Координаты точки делящей отрезок в отношении находятся по формулам: , , (при отрезок точкой делится пополам).

2.27 Заданы векторы , , .

Найти : а) и координаты орта ;

б) координаты вектора .

2.28 Заданы векторы , , .

Найти: а) и координаты орта ;

б) координаты вектора .

2.29 Найти длину и направляющие косинусы вектора если .

2.30 Определить координаты вектора , если известно, что он направлен в противоположную сторону к вектору , и его модуль равен 5.

2.31 Найти вектор , коллинеарный вектору , образующий с ортом острый угол и имеющий длину .

2.32 Найти координаты вектора , длина которого равна 8, зная, что он образует с осью Ox угол , с осью Oz - угол , а с осью Oy - острый угол.

2.33 Найти вектор , образующий с ортом угол , с ортом - угол , если .

2.34 Найти вектор , образующий со всеми тремя базисными ортами равные острые углы, если .

2.35 Определить расстояние между двумя точками:

а) и ; и ;

б) и ; и .

2.36. Определить ординату точки , зная, что абсцисса ее равна , а расстояние до точки равно .

2.37 На оси ординат найти точку, отстоящую от точки на расстояние 5 единиц.

2.38 На оси абсцисс найти точку, равноудаленную от начала координат и точки

2.39 На оси Oz найти точку, равноудаленную от точек: и

2.40 Один из концов отрезка находится в точке А(2,3), его серединой служит точка . Найти другой конец отрезка.

2.41. Найти вершины треугольника , зная середины его сторон: ,

2.42 Даны середины сторон треугольника Найти координаты его вершин.

2.43 Вычислить длину медиан треугольника, зная координаты его вершин:

2.44 Даны две точки и . В каком отношении делит отрезок точка С пересечения отрезка АВ с биссектрисой первого и третьего координатных углов?

2.45 Даны две смежные вершины параллелограмма ABCD: и В(2,6) и точка пересечения его диагоналей М(3,1). Найти две другие вершины параллелограмма.

2.46 Найти точку , равноудаленную от трех точек:

2.47 На координатной плоскости найти точку, одинаково удаленную от трех точек: и

2.48 Найти точку М, отстоящую от точки на расстояние 9, зная направляющие косинусы вектора : 2/3, ,1/3.

2.49 Зная две противоположные вершины ромба и С(10,11), найти две другие его вершины при условии, что длина стороны ромба равна 10.

2.50. Дана точка Найти точку В при условии, что точка С пересечения прямой с осью ординат делит отрезок в отношении, равном , а точка D пересечения прямой с осью абсцисс делит отрезок в отношении .

2.51 Даны две вершины треугольника: Найти третью вершину С, зная, что середина стороны АС лежит на оси 0y, а середина стороны ВС на плоскости 0xz.

2.52 Найти отношение, в котором плоскость 0yz делит отрезок