Глава 1. Линейная алгебра.

§ 1. Определители.

Квадратной матрицей порядка называется квадратная таблица из чисел ( , ): , состоящая из строк и столбцов. Любой квадратной матрице порядка можно поставить в соответствие число , равное алгебраической сумме слагаемых, составленных определённым образом из элементов матрицы _, называемое определителем матрицы.

Определителем 1-ого порядка называется число .

Определителем 2-ого порядка называется число

.

Определителем 3-его порядка называется число

Минором элемента определителя называется определитель , полученный из данного вычёркиванием -ой и -ого столбца. Алгебраическим дополнением элемента называется его минор , взятый со знаком : .

Определителем порядка называется число

Разложением определителя по -ой строке ( ) называется соотношение: .

Разложением определителя по -ому столбцу ( ) называется соотношение:

Определители обладают свойствами:

1) определитель не изменится при замене всех его строк столбцами с теми же номерами;

2) определитель изменит знак на противоположный, если переставить местами любые две строки (два столбца) определителя;

3) общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя;

4) определитель равен нулю, если он содержит нулевую строку (столбец), две одинаковые или пропорциональные строки (столбца);

5) определитель не изменится, если к какой-либо строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число;

6) определитель треугольного вида (когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей равны нулю) равен произведению диагональных элементов.

В задачах 1.1-1.4 вычислить определители 2-го порядка.

1.1 . 1.2 . 1.3 . 1.4 .

В задачах 1.5-1.8 вычислить определители 3-го порядка.

1.5 . 1.6 . 1.7 . 1.8 .

1.9 Решить уравнение.

а) ; б) ; в) .

1.10 Решить неравенство.

а) ; б) ; в) .

В задачах 1.11-1.12, используя свойства определителя, доказать тождества (определители не развертывать).

1.11 .

1.12 .

В задачах 1.13-1.16 вычислить определители, используя их свойства

1.13 . 1.14 .

1.15 . 1.16 .

1.17 Проверить, что определитель делится на и

В задачах 1.18-1.23 вычислить определители, используя разложение по строке или столбцу:

1.18 . 1.19 . 1.20 . 1.21 .

1.22 . 1.23 .

В задачах 1.24-1.29 вычислить определители

1.24 . 1.25 . 1.26 .

1.27 . 1.28 . 1.29 .

§ 2. Матрицы.

Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел ( , ): , состоящая из строк и столбцов. Если необходимо указать её размер, то пишут .

Матрицы и называются равными и пишут , если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны:

, , .

Транспонированной к матрице называется матрица , столбцами которой являются соответствующие строки матрицы .

Суммой (разностью) матриц и одного размера , называется матрица того же размера, для которой:

, , .

Произведением матрицы на число называется матрица того же размера, для которой: , , .

Линейной комбинацией матриц и одного размера , называется матрица того же размера ( и - произвольные числа), для которой: , , ,

Произведением матрицы на матрицу называется матрица , каждый элемент которой вычисляется по правилу: , , .

Вообще говоря, .

Элементарными преобразованиями матрицы называются:

1) перестановка строк (столбцов);

2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;

4) вычёркивание нулевой строки (столбца).

Матрицы и , полученные одна из другой в результате элементарных преобразований называются эквивалентными и пишут ~ .

Обратной к квадратной матрице называется матрица того же порядка такая, что: , где - единичная матрица (на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю). Обратная матрица всегда существует для невырожденных матриц. Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель .

Основными методами вычисления обратной матрицы являются:

Метод присоединённой матрицы. Если -невырожденная матрица, то , где - присоединённая матрица, для которой: . Здесь - алгебраические дополнения элементов матрицы .

Метод элементарных преобразований. Для матрицы порядка строится прямоугольная матрица размера приписыванием к справа единичной матрицы. Далее, с помощью элементарных преобразований над строками, матрица приводится к виду , что всегда возможно, если -невырожденная.

Матричными называются уравнения: , , , где матрицы - известны, матрица - неизвестна. Если матрицы , -невырожденные, то решения матричных уравнений записываются, соответственно, в виде: , , .

В задачах 1.30-1.31 найти линейные комбинации матриц:

1.30 .

1.31 .

В задачах 1.32-1.35 умножить матрицы:

1.32 а) ; б) .

1.33 а) ; б) .

1.34 а) ; б) ;

в) ; г) .

1.35 а) ; б) .

1.36 Выполнить действия над матрицами

а) ;

б) .

1.37 Вычислить а) ; б) .

В задачах 1.38-1.40 найти значение многочлена от матрицы

1.38 , .

1.39 , .

1.40 , .

В задачах 1.41-1.42 вычислить .

1.41 , .

1.42 , .

В задачах 1.43-1.44 вычислить для заданных матриц .

1.43 . 1.44 .

В задачах 1.45-1.52 найти обратную матрицу для матриц:

1.45 . 1.46 . 1.47 .

1.48 . 1.49 . 1.50 .

1.51 . 1.52 .

В задачах 1.53-1.58 решить матричные уравнения.

1.53 . 1.54 .

1.55 . 1.56 .

1.57а) ; б) .

1.58а) ; б) .