- •Лекция 6. Плоский изгиб
- •Напряжение при чистом изгибе
- •Касательные напряжения при поперечном изгибе. Главные напряжения при изгибе
- •Рациональные формы поперечных сечений при изгибе
- •Полная проверка прочности. Опасные сечения и опасные точки.
- •Изгиб балок переменного поперечного сечения
- •Балка на упругом основании
- •Изгиб составных балок
- •Вопросы для самопроверки
Касательные напряжения при поперечном изгибе. Главные напряжения при изгибе
В случае поперечного изгиба в сечениях балки возникают не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.
Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению неравномерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки, строго говоря, не остаются плоскими. Однако при (где h - высота поперечного сечения, l - длина балки) оказывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на изгиб. В данном случае гипотеза плоских сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точностью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряжений применяют ту же формулу (5).
Рассмотрим вывод расчетных формул для касательных напряжений. Выделим из бруса, испытывающего поперечный изгиб, элемент длиной (рис. 6.28,а).
Рис. 6.28
Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии y от нейтральной оси, разделим элемент на две части (рис. 6.28,в) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основание шириной b. При этом с учетом закона парности касательных напряжений, получим, что касательные напряжения в поперечном сечении равны касательным напряжениям, возникающим в продольных сечениях (рис. 6.28,б). С учетом данного обстоятельства и из допущения о том, что касательные напряжения по площади распределены равномерно, используя условие , получим:
,
откуда
. (13)
где - равнодействующая нормальных сил в левом поперечном сечении элемента в пределах заштрихованной площади :
. (14)
С учетом (5) последнее выражение можно представить в виде
, (15)
где - статический момент части поперечного сечения, расположенной выше координаты y (на рис. 6.28,б эта область заштрихована). Следовательно, (15) можно переписать в виде
,
откуда
. (16)
В результате совместного рассмотрения (13) и (16) получим
,
или окончательно
. (17)
Полученная формула (17) носит имя русского ученого Д.И. Журавского.
Условие прочности по касательным напряжениям:
, (18)
где -максимальное значение поперечной силы в сечении; - допускаемое касательное напряжение, оно, как правило, равно половине .
Для исследования напряженного состояния в произвольной точке балки, испытывающей поперечный изгиб, выделим из состава балки вокруг исследуемой точки элементарную призму (рис. 6.28,г), таким образом, чтобы вертикальная площадка являлась частью поперечного сечения балки, а наклонная площадка составляла произвольный угол относительно горизонта. Принимаем, что выделенный элемент имеет следующие размеры по координатным осям: по продольно оси - dz, т.е. по оси z; по вертикальной оси - dy, т.е. по оси у; по оси х - равный ширине балки.
Так как вертикальная площадка выделенного элемента принадлежит поперечному сечению балки, испытывающему поперечный изгиб, то нормальные напряжения на этой площадке определяются по формуле (5), а касательные напряжения - по формуле Д.И. Журавского (17). С учетом закона парности касательных напряжений, легко установить, что касательные напряжения на горизонтальной площадке также равны . Нормальные же напряжения на этой площадке равны нулю, согласно уже известной нам гипотезе теории изгиба о том, что продольные слои не оказывают давления друг на друга.
Обозначим величины нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке через и , соответственно. Принимая площадь наклонной площадки , для вертикальной и горизонтальной площадок будем иметь и , соответственно.
Составляя уравнения равновесия для элементарной вырезанной призмы (рис. 6.28,г), получим:
,
откуда будем иметь:
;
.
Следовательно, окончательные выражения напряжений на наклонной площадке принимают вид:
.
Определим ориентацию площадки, т.е. значение , при котором напряжение принимает экстремальное значение. Согласно правилу определения экстремумов функций из математического анализа, возьмем производную функции от и приравняем ее нулю:
.
Предполагая , получим:
.
Откуда окончательно будем иметь:
.
Согласно последнему выражению, экстремальные напряжения возникают на двух взаимно перпендикулярных площадках, называемых главными, а сами напряжения - главными напряжениями.
Сопоставляя выражения и , имеем:
,
откуда и следует, что касательные напряжения на главных площадках всегда равны нулю.
В заключение, с учетом известных тригонометрических тождеств:
и формулы ,
определим главные напряжения, выражая из через и :
.
Полученное выражение имеет важное значение в теории прочности изгибаемых элементов, позволяющее производить расчеты их прочности, с учетом сложного напряженного состояния, присущее поперечному изгибу.
Пример 8.
В качестве примера применения формулы Журавского построим эпюру касательных напряжений для случая прямоугольного поперечного сечения балки (рис. 6.29). Учитывая, что для этого сечения
получаем
где - площадь прямоугольника.
Как видно из формулы, касательные напряжения по высоте сечения меняются по закону квадратической параболы, достигая максимума на нейтральной оси
Рис. 6.29
В круглом сечении (рис. 6.29) эпюра касательных напряжений ограничена кривой, имеющей максимум на нейтральной оси. Учитывая, что статический момент полукруга и момент инерции круга
,
получаем
Следовательно, максимальные касательные напряжения в круглом сечении на 33% больше средних напряжений , по которым, например, обычно проводится расчет заклепок.
Для треугольного сечения с основанием b и высотой h (рис. 6.29), имеем
,
Максимальное напряжение имеет место на расстоянии от нейтральной линии, то есть в точках средней линии треугольника.
Пример 9.
Построить эпюру распределения касательных напряжений для балки двутаврового (№ 12) сечения (рис. 6.30), если Q=10 кН.
Рис. 6.30
Для построения эпюры схематизируем действительное сечение, представив его в виде трех прямоугольников, как показано на рис. 6.30 пунктиром. Проведя произвольную линию mn, параллельную нулевой линии, и перемещая ее вдоль оси y, обнаруживаем, что при этом напряжения в точках этой линии меняются по параболическому закону, так как мы имеем дело с прямоугольниками. Для построения эпюры касательных напряжений вычислим τ в крайних волокнах (линия AB), в месте сопряжения полки со стенкой (точки 1 и 2, причем будем считать, что они расположены бесконечно близко к границам полки, но лежат по разные стороны от этой границы) и в точках нейтральной линии.
На рис. 6.30 все размеры даны в мм, а напряжения – в МПа.
Для точек линии AB ширина сечения равна l, а статический момент равен нулю, так как линия AB не отсекает никакой площади. Таким в точках линии AB касательные напряжения равны нулю.
Для точки 1 статический момент равен
Момент инерции сечения относительно нейтральной оси находим по сортаменту Iz=403 см4. Касательное напряжение в точке 1:
Для точки 2 статический момент (с точностью до бесконечно малых величин) остается таким же, но ширина сечения d=0,5 см. Поэтому касательное напряжение в точке 2
Для точек
Следовательно, при переходе от точки 1 к точке 2 касательное напряжение возрастает в 15 раз и на эпюре получается скачок.
Для точек нейтральной линии ширина сечения d=0,5 см, а статический момент следует взять для половины сечения из сортамента Szmax=38,5 см3. Поэтому
На основании этих данных строим эпюру касательных напряжений для нижней половины сечения. Для верхней половины сечения в силу симметрии профиля относительно оси z эпюра будет симметричной.
Построенная эпюра условна, так как она дает верные значения касательных напряжений только для точек стенки, достаточно удаленных от полок. Вблизи полок касательные напряжения в стенке возрастают, ввиду того, что место сопряжения полки со стенкой является источником концентрации касательных напряжений. В полках же, где отношение высоты к ширине много меньше единицы, возникают касательные напряжения, перпендикулярные направлению Q, и величина их меняется по ширине сечения.
Необходимо отметить также, что формулой Журавского можно пользоваться только в случае прямого изгиба.
При изгибе тонкостенных профилей касательные напряжения определяются по следующей формуле:
где - толщина тонкостенного профиля.
На рис. 6.31 построена эпюра при изгибе тонкостенного двутавра в вертикальной плоскости симметрии. Вследствие симметрии сечения и нагрузки, касательные напряжения в симметричных точках полок двутавра должны быть также симметричны относительно оси y и будут увеличиваться от края к центру по линейному закону:
.
Вдоль стенки τ изменяются по параболическому закону
и направлены в ту же сторону, что и сила Q.
Рис. 6.31
Рис. 6.32
При изгибе двутавра в плоскости второй оси (рис. 6.32) касательные напряжения в стенке равны нулю, а вдоль каждой из полок изменяются по параболическому закону
.
Пример 10.
Для балки из пластичного материала, передающей в опасном сечении изгибающий момент Mmax=32 кНм, подобрать двутавровое и прямоугольное сечение ( ), если =160 МПа. Сравнить массы подобранных балок.
Момент сопротивления определяется из условия прочности:
Ближайший стандартный двутавровый профиль подбираем по сортаменту:
Для прямоугольного сечения имеем:
Отношение масс подобранных профилей равно отношению площадей поперечных сечений и составляет 3:1, то есть балка прямоугольного сечения более чем в три раза тяжелее балки двутаврового сечения при условии равной их прочности.
Сделаем несколько замечаний, касающихся расчетов на прочность при прямом поперечном изгибе. В отличие от простых видов деформации, когда в поперечных сечениях стержня возникает лишь один силовой фактор, к которым относятся и изученные выше растяжение (сжатие) и чистый изгиб, прямой поперечный изгиб должен быть отнесен к сложным видам деформации. В поперечных сечениях стержня при поперечном изгибе возникают два силовых фактора: изгибающий момент и поперечная сила (рис.6.33), напряженное состояние является упрощенным плоским, при котором в окрестности произвольно выбранных точек поперечного сечения действуют нормальные и касательные напряжения. Поэтому условие прочности для таких точек должно быть сформулировано на основе какого-либо уже известного критерия прочности.
Однако учитывая, что наибольшие нормальные напряжения возникают в крайних волокнах, где касательные напряжения отсутствуют (рис.6.33), а наибольшие касательные напряжения во многих случаях имеют место в нейтральном слое, где нормальные напряжения равны нулю, условия прочности в этих случаях формулируются раздельно по нормальным и касательным напряжениям
Рис.6.33. Распределение нормальных и касательных напряжений по контуру сечения
Рис.6.34. К сравнительной оценке модулей напряжения
Покажем, что доминирующая роль в расчетах на прочность балки, подвергнутой поперечному изгибу, будет принадлежать расчету по нормальным напряжениям. Для этого оценим порядок и на примере консольной балки, показанной на рис. 6.34:
так как
Тогда
откуда , а поскольку то доминирующим в этом случае будет расчет по нормальным напряжениям и условие прочности, например, для балки из пластичного материала, работающей на прямой изгиб, как и в случае чистого изгиба будет иметь вид:
.