2.3. Метод Крамера

Теорема. Квадратна невироджена СЛР сумісна та визначена, єдиний її розв’язок можна отримати за формулами (формули Крамера)

(2.4)

де , – визначник, отриманий з матриці системи А заміною j-го стовпчика стовпчиком вільних членів.

Приклад 4. Розв’язати методом Крамера наступну СЛР:

Матриця даної системи має вигляд , стовпчик вільних членів . Обчислимо , , , .

Отже, за формулами (2.4), єдиний розв’язок системи має вигляд:

, , .

Відповідь можемо записати у вигляді .

2.4. Розв'язок системи лінійних рівнянь за допомогою метода послідовного виключення змінних. (Метод Гаусса)

Дві СЛР називаються еквівалентними, якщо мають однакову множину розв’язків.

Рівняння СЛР називається несуттєвим, якщо виключаючи його, система переходить в еквівалентну, та суттєвим у протилежному випадку. Змінна, що може набувати у розв’язку системи довільних значень, називається вільною. Якщо у розв’язку системи змінна набуває значень в залежності від фіксованих значень вільних змінних, то вона називається базисною.

Зауваження. Набір вільних та базисних змінних СЛР в деяких випадках можна вибирати по-різному, але кількість змінних у кожному такому наборі при цьому не змінюється.

Приклад 5. Проілюструємо введені поняття на прикладі системи

.

Очевидно, друге рівняння системи можна вважати несуттєвим. Отже, вона еквівалентна лише першому рівнянню (аналогічно можна було б відкинути перше рівняння, залишаючи друге).

. У цьому випадку – вільна, а – базисна. Або . У цьому випадку – вільна, а – базисна.

Елементарними перетвореннями над рівняннями системи лінійних рівнянь називаються

1. перестановки місцями двох її рівнянь;

2. множення рівняння системи на ненульове число;

3. додавання до одного рівняння системи іншого її рівняння, помноженого на довільне число;

4. виключення із системи числових тотожностей.

Зауваження. Очевидно, елементарні перетворення над рівняннями системи відповідають елементарним перетворенням над відповідними рядками її розширеної матриці. Отже надалі ми будемо перетворювати саме рядки розширеної матриці.

Метод Гауса послідовного виключення змінних

Метод базується на наступній теоремі.

Теорема. При елементарних перетвореннях над рівняннями СЛР (рядками розширеної матриці) система переходить в еквівалентну.

Алгоритм методу.

І етап (прямий хід методу): кількість кроків співпадає з кількістю змінних системи (стовпчиків матриці системи).

1-й крок. Виключаємо змінну з усіх рівнянь, крім першого. Для цього в першому стовпчику розширеної матриці шукають ненульовий (ведучий) елемент, переставляють його рядок на перше місце та за допомогою елементарних перетворень над всіма наступними рядками та цим фіксованим роблять нулі під ведучим елементом (див. приклади 6,7).

2-й крок. Виключаємо змінну з усіх рівнянь, крім перших двох. Для цього у другому стовпчику отриманої матриці, починаючи з другого місця, шукають ненульовий (ведучий) елемент.

k-й крок. У k-му стовпчику попередньої матриці шукають ненульовий (ведучий) елемент.

Якщо попередня змінна вільна, то з того ж місця, що й на попередньому кроці.

Таким чином, проходимо всі стовпчики матриці системи А. Після чого матриця набуває східчастого вигляду (див. приклад 6).

ІІ етап. Аналіз множини розв’язків СЛР.

Якщо остання матриця І етапу містить нульовий рядок, якому відповідає ненульовий вільний член, то СЛР – несумісна, оскільки такий рядок відповідає рівнянню . В протилежному випадку СЛР – сумісна.

Для сумісної СЛР: якщо вона містить вільні змінні, то система невизначена, інакше система визначена.

ІІІ етап. Зворотній хід методу (виконується лише для сумісних СЛР).

1. За останньою матрицею перетворень І етапу виписується відповідна СЛР (еквівалентна початковій за теоремою).

2. Надаючи вільним змінним (якщо такі є) довільних значень, їх переносять у праву частину кожного рівняння (матриця з базисних змінних стає верхньотрикутною, отже невиродженою).

3. Починаючи з останнього рівняння, знаходять відповідні значення базисних змінних.

4. Виписується розв’язок СЛР (у вигляді вектора).

Приклад 6. Розв’язати СЛР методом Гауса в залежності від параметра.

Випишемо розширену матрицю системи:

.

І етап складається з семи кроків, на кожному кроці ведучі елементи виділені у відповідній матриці.

.

3-й крок: у третьому стовпчику останньої матриці, починаючи з відповідного місця (третього) немає ненульового елементу, отже – вільна змінна.

4-й крок: у четвертому стовпчику шукаємо ведучий, починаючи з третього місця (попередня змінна вільна).

.

5-й крок: у п’ятому стовпчику останньої матриці, починаючи з відповідного місця (четвертого) немає ненульового елементу, отже – вільна змінна.

6-й крок: у шостому стовпчику шукаємо ведучий, починаючи з четвертого місця (попередня змінна вільна).

.

7-й крок: у сьомому стовпчику останньої матриці, починаючи з відповідного місця (п’ятого) немає ненульового елементу, отже – вільна змінна.

І етап завершено, ненульові елементи матриці утворюють сходинки, матриця має східчастий вигляд.

ІІ етап. Виникає два можливих випадки.

1. Якщо , то СЛР несумісна. Розв’язання закінчено.

2. Якщо p=5, то СЛР сумісна та невизначена, оскільки є три вільні змінні. В цьому випадку з останньої матриці перетворень І етапу можна виключити останній рядок, оскільки він відповідає числовій тотожності 0=0. Тоді матриця набуває вигляду:

ІІІ етап (для p=5).

1. СЛР, що відповідає останній матриці, має вигляд:

.

2. Надамо вільним змінним значень , , , , та перенесемо їх у праву частину кожного рівняння:

(матриця з базисних змінних – верхньотрикутна).

3. Знайдемо значення базисних змінних, починаючи з останнього рівняння: .

4. Розв’язок СЛР , .

Відповідь матиме вигляд: 1) якщо , то СЛР несумісна;

2) якщо p=5, то СЛР сумісна та невизначена, будь-який її розв’язок задається вектором , .