
- •10. Числовые и функциональные ряды
- •10.1. Числовой ряд. Основные понятия. Знакоположительные ряды Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •10.2. Знакочередующиеся ряды Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •10. 3. Функциональные ряды Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •10.5. Разложение функций в ряды Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •10.6.Приложения в экономике теории рядов Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
Задания для самостоятельной работы
n10.7. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
а) |
б) |
в) |
г) |
д) |
е) |
ж) |
з) |
n10.8. Вычислить сумму ряда с точностью :
а) |
б) |
в) |
г) |
д) |
е) |
ж) |
з) |
n10.9.
Доказать справедливость равенства.
(Ответом служит число
,
получаемое при применении признака
Даламбера или признака Коши):
а);
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е)
|
ж)
|
з)
|
Ответы
10. 3. Функциональные ряды Краткие теоретические сведения
Определение
1. Ряд, членами
которого являются функции аргумента
,
определенные на некотором множестве
,
называется функциональным:
Множество всех значений , при которых функциональный ряд становится сходящимся числовым рядом, называется областью сходимости функционального ряда.
Может
случиться, что для некоторых
ряд сходится абсолютно, а для некоторых
условно.
Для нахождения областей сходимости функциональных рядов можно использовать разложение основных элементарных функций в ряд и достаточные признаки сходимости числовых рядов.
Определение
2.
Суммой функционального ряда называется
функция
,
где
-я
частичная сумма.
Определение
3. Сходящийся
в некотором промежутке
функциональный ряд
называется равномерно
сходящимся
в этом промежутке, если для любого
существует номер
,
независящий от
и такой, что для всех
справедливо неравенство
одновременно для всех значений
рассматриваемого промежутка.
Теорема
1. Если членами
функционального ряда
являются непрерывные
в некотором промежутке функции
и в этом промежутке ряд сходится
равномерно, то его сумма
непрерывна в этом промежутке.
Теорема
2 (признак Вейерштрасса).
Если члены функционального ряда
в некотором промежутке Е
не
превосходят по абсолютной величине
соответствующих членов сходящегося
числового ряда
с положительными
членами, т.е. если для всех
Е:
,
то данный функциональный ряд сходится
в этом промежутке абсолютно и равномерно.
Числовой ряд называется мажорирующим рядом или числовой мажорантой для функционального ряда на промежутке.
Теорема
3. Если членами
функционального ряда
являются непрерывные на промежутке
функции, и ряд сходится равномерно на
этом отрезке к функции
,
то его можно почленно проинтегрировать
на этом отрезке:
.
Выше сформулированы достаточные условия для почленного интегрирования рядов. Существуют ряды, не удовлетворяющие условиям этой теоремы, но допускающие почленное интегрирование.
Теорема 4. Если в некотором промежутке:
функциональный ряд сходится к сумме ;
члены
данного ряда имеют непрерывные производные
;
ряд этих производных
сходится равномерно;
то
данный функциональный ряд можно почленно
дифференцировать в каждой точке
упомянутого промежутка:
.