3.3 Метод Мейсона

Граф прохождения сигнала, или сигнальный граф, разработал Мейсон для наглядного представления и описания связей в системе [1,3]. Граф удобен тем, что он позволяет вычислять передаточные функции многоконтурных систем без предварительного преобразования их структурных схем.

Опр. 9: Графом называется совокупность множества V точек, называемых вершинами, и множества R простых (т.е. самонепересекающихся) кривых, называемых ребрами, удовлетворяющих следующим условиям:

1. каждое незамкнутое ребро содержит ровно две точки множества V, которые являются граничными точками ребра;

2. каждое замкнутое ребро содержит только одну точку из V (граничные точки совпадают);

3. ребра не имеют общих точек, за исключением точек из множества V.

При построении графа системы управления по ее структурной схеме нужно исходную схему представить так, чтобы в сумматорах все переменные складывались с положительным знаком. Далее руководствуются следующими правилами:

1. каждый сумматор заменяется вершиной, которой ставится в соответствие выходная переменная заменяемого сумматора;

2. каждое звено заменяется дугой с оператором, равным оператору заменяемого звена; если выходная переменная подается на сумматор с отрицательным знаком, то оператор дуги записывается с противоположным знаком;

3. каждой переменной соответствует своя вершина.

Пример построения графа управления по заданной структурной схеме приведен на рисунке 9.

Рисунок 9 – Построение графа системы управления

Дадим определение основным компонентам графа управления [4]:

Узел-источник – это узел, из которого сигналы только вытекают.

Узел-сток – это узел, в который все сигналы только втекают.

Путь – это непрерывная последовательность ветвей от узла к узлу, причем стрелки на всех ветвях направлены в одну сторону, т.е. сигналы распространяются в одном направлении.

Контур – это замкнутый путь, в котором стрелки на всех ветвях направлены в одну сторону и каждый узел встречается не более одного раза.

Прямой путь – это путь от узла-источника к узлу-стоку, в котором ни один узел не встречается более одного раза.

Коэффициент передачи пути/контура – произведение передаточных функций всех ветвей, образующих путь/контур.

Несоприкасающиеся контуры – контуры, не имеющие общих узлов.

Используя данные определения, приведем формулу Мейсона, по которой определяется передаточная функция от узла-источника к узлу-стоку:

, (5)

где - коэффициент передачи прямого пути;

p – число прямых путей;

- определитель подграфа, получающийся из исходного графа при удалении дуг и вершин k-го простого пути;

- определитель графа:

, (6)

где - сумма коэффициентов передачи всех контуров;

и - сумма произведений двух, трех и т.д. коэффициентов передачи контуров, не соприкасающихся друг с другом.

Порядок вычисления передаточной функции системы методом Мейсона следующий:

1. построить граф системы управления по заданной структурной схеме;

2. записать коэффициенты передачи всех контуров, определить пары, тройки и т.д. несоприкасающихся контуров;

3. по формуле (6) записать определитель графа системы;

4. записать все прямые пути графа, определители подграфов;

5. вычислить передаточную функцию системы по формуле (5).