3 Методы нахождения передаточной функции по заданной структурной схеме

3.1 Метод прогонки сигнала

Вычисление передаточной функции системы по заданной структурной схеме методом прогонки сигнала заключается в следующем:

1. на заданной структурной схеме указываются все проходящие в системе сигналы;

2. составляется система уравнений относительно выходных сигналов для всех звеньев системы управления;

3. в уравнение относительно выходного сигнала всей системы управления последовательно подставляются уравнения системы таким образом, чтобы исключить все проходящие сигналы;

4. из полученного уравнения относительно выходного и входного сигналов системы получаем передаточную функцию путем деления выходного сигнала на входной сигнал.

Докажем объявленные выше способы нахождения эквивалентных передаточных функций для типовых соединений, используя метод прогонки сигнала.

Составим систему уравнений для случая последовательного соединения звеньев (рисунок 3а):

.

Тогда передаточная функция такого соединения из полученного уравнения находится как отношение выходного сигнала к входному:

.

Составим систему уравнений для случая параллельного соединения звеньев (рисунок 3б):

Составим систему уравнений для звена, охваченного обратной связью (рисунок 3в):

3.2 Метод структурных преобразований

Системы управления могут быть одноконтурными или многоконтурными.

Опр. 7: Одноконтурной называют замкнутую систему, если при ее размыкании в какой-либо точке получается цепочка последовательно соединенных звеньев, не содержащая параллельных и обратных связей.

Участок цепи по ходу сигнала от точки приложения входного воздействия до точки съема выходного сигнала называют прямой цепью, а цепь из последовательно соединенных звеньев, входящих в замкнутый контур – разомкнутой цепью.

Передаточная функция одноконтурной системы с отрицательной (положительной) обратной связью равна передаточной функции прямой цепи , деленной на единицу плюс (минус) передаточная функция разомкнутой цепи :

. (4)

Опр. 8: Замкнутую систему называют многоконтурной, если при ее размыкании в какой-либо точке получается цепочка последовательно соединенных звеньев, содержащая параллельные и обратные связи.

Многоконтурная система путем эквивалентных преобразований может быть приведена к одноконтурной. Задача усложняется, если в многоконтурной системе есть перекрещивающиеся (перекрестные) связи [1].

Многоконтурная система не имеет перекрестных связей, если любые два контура, образованные параллельным или обратным соединением не имеют общих участков (рисунок 4а) или если какие-либо два контура имеют общий участок, но один из них вложен внутрь другого (рисунок 4б). В противном случае считается, что в системе имеются перекрестные связи (рисунок 4в).

а
б
в

Рисунок 4 – Структурные схемы многоконтурных систем

Порядок вычисления передаточной функции системы методом структурных преобразований следующий:

1. путем переноса узлов и сумматоров (элементов сравнения) избавиться от перекрестных связей;

2. используя правила эквивалентных преобразований, преобразовать систему в одноконтурную;

3. вычислить передаточную функцию полученной одноконтурной системы.

Перенос сумматора через звено.

При переносе сумматора по ходу сигнала добавляется звено с передаточной функцией, равной передаточной функции звена, через которое переносится сумматор (рисунок 5а). При переносе сумматора против хода сигнала добавляется звено с передаточной функцией, равной обратной передаточной функции звена, через которое переносится сумматор (рисунок 5б).

а
б

Рисунок 5 – Перенос сумматора

Докажем эквивалентность преобразования, приведенного на рисунке 5а. Составим уравнение относительно выходного сигнала до переноса сумматора:

.

Составим уравнение относительно выходного сигнала после переноса сумматора по ходу движения сигнала:

Очевидно, что выражения равны.

Перенос узла через звено.

При переносе узла по ходу сигнала добавляется звено с передаточной функцией, равной обратной передаточной функции звена, через которое переносится узел (рисунок 6а). При переносе узла против хода сигнала добавляется звено с передаточной функцией, равной передаточной функции звена, через которое переносится узел (рисунок 6б).

а
б

Рисунок 6 – Перенос узла

Докажем эквивалентность преобразования, приведенного на рисунке 6а. Составим уравнение относительно выходного сигнала до переноса узла:

.

Составим уравнение относительно выходного сигнала после переноса узла по ходу движения сигнала:

Очевидно, что выражения равны.

Перестановка сумматоров.

Сумматоры можно переставлять местами и объединять. Перестановка двух сумматоров соответствует переносу одного сумматора через другой и подчиняется правилу переноса сумматора через звено.

Перестановка узлов.

Узлы можно переставлять между собой и объединять.

Перенос узла через сумматор и наоборот.

При переносе узла через сумматор необходимо добавлять элемент сравнения (рисунок 7а), а при переносе сумматора через узел – сумматор (рисунок 7б).

а
б

Рисунок 7 – Перенос узла через сумматор и сумматора через узел

При эквивалентных преобразованиях одной и той же структурной схему могут быть получены различные передаточные функции по разным входам и выходам. Чаще всего при исследовании систем используются передаточные функции по управляющему и возмущающему воздействию. Обозначаются такие передаточные функции с указанием учитываемого входного и выходного сигнала, и соответственно.

Рисунок 8– Структурная схема системы с управляющим и возмущающим воздействием

При вычислении передаточной функции по управляющему воздействию полагают . Тогда для одноконтурной системы, структурная схема которой приведена на рисунке 8, получим:

.

При вычислении передаточной функции по возмущающему воздействию полагают . Тогда передаточная функция системы по возмущающему воздействию будет иметь вид:

.

Возможно также нахождения передаточных функций по ошибке, т.е. по выходу e, передаточные функции при этом записываются как и .