2.3. Получить передаточную функцию замкнутой системы.

Передаточную функцию замкнутой системы определим по правилу:

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

2.4. Оценить устойчивость замкнутой системы по расположению корней ее характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

Найдем его корни:

Сделаем вывод, что система не является устойчивой, так как корни не лежат внутри единичной окружности.

Проверим полученный результат в МВТУ:

Схема 14 – Структурная схема (ряд Лорана.mrj)

График 17.(см. ряд Лорана.mrj)

Делаем вывод, что замкнутая система действительно не является устойчивой.

2.5. Используя билинейное преобразование, подтвердить результаты п.4, используя критерии устойчивости непрерывных систем.

В передаточной функции W*(z) делаем замену переменной z: .

Получаем:

Проверим устойчивость, применив критерий Михайлова. Произведем замену в исходном характеристическом уравнении.

Выделим действительную и мнимую части:

;

Построим годограф Михайлова:

График 18.(Годограф. xls)

Для того чтобы система была устойчива, годограф должен начинаться на вещественной положительной оси и иметь вид раскручивающейся против часовой стрелки спирали, проходящей последовательно квадранты комплексной плоскости. Полученный годограф не удовлетворяет данным условиям, т.к. при начинается на положительной оси, но не проходит во второй квадрант, а через четвертый попадает в третий. Кроме того, он не начинается в начале координат, что говорило бы о том, что система находится на границе устойчивости. Делаем вывод, что система является неустойчивой.

2.6. Вычислить переходную характеристику замкнутой импульсной системы.

Переходная характеристика замкнутой импульсной системы выглядит следующим образом:

.

Произведем следующее преобразование:

Разделим числитель на знаменатель:

|

…

В результате деления получим ряд Лорана:

График 19.(ряд Лорана.mrj)

7. Используя билинейное преобразование построить лачх и лфчх разомкнутой импульсной системы относительно абсолютной псевдочастоты.

Для построения ЛАЧХ воспользуемся функцией, полученной билинейным преобразованием.

;

Из передаточной функции найдем и :

и

Построим ЛФЧХ, так же используя билинейное преобразование:

График 20.(2.7.xls)

Из ЛАЧХ определяем частоту среза равную , при этом ЛФЧХ пересекает прямую –π в точке, соответствующей .

8. Получить модель разомкнутой импульсной системы в векторно-матричной форме.

Получим модель объекта в векторно-матричной форме.

;

Тогда векторно-матричная форма модели импульсной САУ:

Так же, для выполнения этого пункта воспользуемся блоком дискретных переменных состояния (пакет МВТУ), который реализует описание многомерной линейной дискретной системы в матричной форме:

x[k+1] = Ax[k] + Bg[k];

y[k] = Cx[k] + Dg[k],

где A, B, C, D - матрицы: собственная, входа, выхода и обхода, соответственно:

; ; ; .

Проверим результаты моделированием в МВТУ пооператорной структурной схемы, а затем с помощью блока дискретных переменных состояний.

Схема 15 – Структурная схема (Векторно-матричная(для импульсных).mrj)

График 21.(Векторно-матричная(для импульсных).mrj)

График дискретной передаточной функции совпадает с графиком пооператорной структурной схемы, что и требовалось доказать с помощью моделирования.