Решать системы уравнений, используя три способа:

Мы уже научились находить решение системы уравнений методом Крамера и способом обратной матрицы. Сегодня на очереди метод Гаусса. Этот способ заключается в обнулении элементов основной расширенной матрицы системы уравнений, находящихся под главной диагональю.

Пусть дана система уравнений. Запишем расширенную матрицу этой системы уравнений, которая состоит из элементов уравнений данной матрицы.

Наша задача: свести эту матрицу к ступенчатой, т.е. добиться того, чтобы в первой строке остались все четыре элемента, во второй строке - три, в третьей - два.

Для обнуления элементов первого столбца работать будем с первой строкой, для обнуления элементов второго столбца - со второй строкой. Обнулять элементы третьего столбца нет необходимости.

Исходную матрицу можно изменять, меняя местами строки. Работать лучше с матрицей у которой первый элемент строк и столбцов равен одному.

Итак, начнем приводить матрицу к ступенчатому виду, используя метод Гаусса.

1 Шаг: Обнулить элементы первого столбца второй и третьей строки.

Для этого нам необходимо работать с первой строкой. В первой строке первого столбца стоит элемент 1. Найдем коэффициент, на который необходимо домножить эту единицу, чтобы при сложении с первым элементом второй строки в результате получился ноль. Т.е. необходимо определить на что надо домножить единицу, чтобы при сложении с числом 2 в результате получился ноль. Этим числом является (-2), т.к. 1*(-2)+2=0. Далее необходимо продолжить этот процесс до конца строки, т.е. каждый элемент первой строки домножить на (-2) и прибавить элемент второй строки:

(-1)*(-2)+1=3 (второй столбец) и 2*(-2)+0=-4 (третий столбец) и 5*(-2)+4=-6 (четвертый столбец).

Теперь обнулим первый элемент третьей строки.

Для этого нам необходимо опять работать с первой строкой. В первой строке первого столбца стоит элемент 1. Найдем коэффициент, на который необходимо домножить эту единицу, чтобы при сложении с первым элементом третьей строки в результате получился ноль. Т.е. необходимо определить на что надо домножить единицу, чтобы при сложении с числом 3 в результате получился ноль. Этим числом является (-3), т.к. 1*(-3)+3=0. Далее необходимо продолжить этот процесс до конца строки, т.е. каждый элемент первой строки домножить на (-3) и прибавить элемент третьей строки:

(-1)*(-3)+5=8 (второй столбец) и 2*(-3)+1=-5 (третий столбец) и 5*(-3)+16=1 (четвертый столбец).

2 Шаг: Обнулить элемент второго столбца третьей строки.

Для этого нам необходимо работать со второй строкой. Во второй строке первого столбца стоит элемент 0, его мы пропускаем и переходим ко второму столбцу. Там элемент равен 3. Найдем коэффициент, на который необходимо домножить эту тройку, чтобы при сложении со вторым элементом третьей строки в результате получился ноль. Т.е. необходимо определить на что надо домножить 3, чтобы при сложении с числом 5 в результате получился ноль. Этим числом является дробь (-8/3), т.к. 3*(-8/3)+8=0. Далее необходимо продолжить этот процесс до конца строки, т.е. каждый элемент второй строки домножить на (-8/3) и прибавить элемент третьей строки:

-4 *(-8/3)-5=17/3 (третий столбец) и -6*(-8/3)+1=17 (четвертый столбец).

Итак, мы свели матрицу к ступенчатому виду.