Потенциал

Рассмотрим работу, совершаемую при перемещении заряда в электрическом поле. Пусть имеется неподвижный точечный заряд q. Пусть другой точечный заряд q' перемещается из некоторой начальной точки 1 в конечную точку 2. Сила Кулона, действующая на заряд q' не постоянна в процессе перемещения. Поэтому для определения работы на этом перемещении необходимо разбить всю траекторию перемещения на множество очень маленьких участков, определить работу на каждом участке и все эти работы сложить:

Р ассмотрим работу силы Кулона на произвольном участке перемещения (см. рис.): . Но - изменение расстояния между зарядами на этом участке перемещения. Значит, вся работа равна:

Записанное выражение при переходе к бесконечно малым перемещениям представляет собой определенный интеграл, который равен:

Полученный результат показывает, что искомая работа определяется только начальным и конечным расстояниями между зарядами и не зависит ни от траектории перемещения заряда q', ни, даже, от его начального и конечного положений. Это означает, что сила Кулона является потенциальной силой. Но работа любой потенциальной силы равна изменению потенциальной энергии, взятой с противоположным знаком:

Отсюда можно сделать вывод, что потенциальная энергия точечного заряда q' в электрическом поле точечного заряда q равна

Как и любая потенциальная энергия, потенциальная энергия Кулоновского взаимодействия определяется с учетом произвольной постоянной, которая определяется выбором нулевого уровня потенциальной энергии. Для взаимодействия точечных зарядов обычно полагается, что потенциальная энергия равна нулю, когда расстояние между зарядами равно бесконечности (то есть const = 0). Значит, потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов q₁ и q₂, находящихся на расстоянии r друг от друга, равна

Электрическое поле, созданное единичным точечным зарядом, является потенциальным. Но любая система зарядов может быть представлена как совокупность точечных зарядов. Отсюда можно сделать вывод, что электрическое поле, созданное произвольной системой зарядов тоже потенциально.

Аналогично определению силовой характеристики электрического поля, можно определить энергетическую характеристику электрического поля – потенциал. Пусть некоторый заряд q, помещенный в некоторую точку электрического поля, обладает потенциальной энергией W. Величина

называется потенциалом электрического поля в данной точке.

Потенциал электрического поля – величина скалярная. Но потенциал, так же как и потенциальная энергия, может быть как положительным, так и отрицательным. Единицей измерения потенциала в системе СИ является Вольт [В]:

Потенциал электрического поля точечного заряда q на расстоянии r от него равен:

Потенциальная энергия заряда, помещенного в электрическое поле равна:

Если заряд положительный и его величина равна единице, то потенциальная энергия численно равна потенциалу. Значит, можно сказать, что потенциал электрического поля в некоторой точке – это потенциальная энергия единичного положительного заряда, помещенного в данную точку поля.

Пусть электрический заряд q перемещается из точки поля с потенциалом φ₁ в точку с потенциалом φ₂. Работа сил электрического поля на этом перемещении равна:

Если заряд q перемещается из точки с потенциалом φ на бесконечность (потенциал на бесконечности равен нулю), то работа равна:

Если заряд положительный и его величина равна единице, то эта работа численно равна потенциалу. Отсюда следует еще одно определение для потенциала: потенциалом электрического поля в некоторой точке называется работа, совершаемая силами поля при перемещении единичного положительного заряда из данной точки поля на бесконечность.

Пусть имеется система зарядов q₁, q₂, …. Каждый заряд системы создает свое собственное электрическое поле. Пусть единичный положительный заряд перемещается из некоторой точки на бесконечность. При этом электрические поля зарядов системы совершают некоторую работу. Суммарная работа равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждым полем системы зарядов

Но суммарная работа А численно равна потенциалу суммарного электрического поля в исходной точке, а работы A_i численно равны потенциалам, создаваемым в исходной точке зарядами системы. Значит, получается, что потенциал, создаваемый системой зарядов в любой точке равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждым зарядом системы. Этот факт называется принципом суперпозиции для потенциала.

Энергия взаимодействия системы зарядов

Пусть имеется два точечных заряда q₁ и q₂. Энергия заряда q₂ в электрическом поле заряда q₁ равна

а энергия заряда q₁ в электрическом поле заряда q₂ равна

Эти две энергии, естественно равны и каждая из них представляет энергию взаимодействия данной пары зарядов. Чтобы каждому заряду было не «обидно», эту энергию взаимодействия можно записать в виде:

Если система состоит из n зарядов q₁, q₂, q₃, …, q_n, то энергия взаимодействия всех зарядов этой системы равна сумме энергий взаимодействия всех возможных пар зарядов этой системы:

В этой сумме каждый из индексов i и j пробегает все значения от 1 до n, но при этом исключаются слагаемые, в которых i = j (энергия взаимодействия заряда с самим собой не рассматривается).

Запишем энергию взаимодействия системы зарядов в несколько другом виде. Заряд q₁ находится в электрическом поле всех остальных зарядов системы. Если все остальные заряды системы (исключая заряд q₁) создают в точке нахождения заряда q₁ потенциал φ₁, то энергия заряда q₁ в электрическом поле всех остальных зарядов системы равна

Запишем аналогичные энергии для всех зарядов системы и сложим:

Однако эта сумма в два раза больше, чем энергия взаимодействия зарядов системы. Дело в том, что в этой сумме каждая пара зарядов системы присутствует два раза. Значит, энергия взаимодействия системы зарядов может быть записана следующим образом:

Здесь q_i – i-ый заряд системы; φ_i – потенциал, создаваемый в точке нахождения i-ого заряда всеми остальными зарядами системы (исключая заряд q_i).

Связь между напряженностью и разностью потенциалов

Р абота потенциальной силы равна изменению потенциальной энергии с противоположным знаком. Пусть имеется однородное электрическое поле с напряженностью Е. Пусть электрический заряд q перемещается из некоторой начальной точки 1 в некоторую конечную точку 2. На заряд со стороны поля действует сила , которая совершает работу

С другой стороны, эта работа равна

Здесь – разность потенциалов между точками 1 и 2. Получается, что

Если ввести координатную ось Х, направленную вдоль вектора Е, то - проекция вектора перемещения S на ось Х. В результате получаем связь между напряженностью электрического поля и разностью потенциалов:

Здесь Δφ – разность потенциалов между двумя точками, а Δх – перемещение между этими точками, измеренное вдоль направления поля. Заметим, что данное соотношение справедливо только для однородного поля. Для неоднородного поля аналогичное соотношение выполняется для бесконечно малых перемещений.

С уществует еще один метод графического изображения электрических полей с помощью эквипотенциальных поверхностей. Эквипотенциальной поверхностью называется геометрическое место точек одинакового потенциала. Эквипотенциальные поверхности в любой точке перпендикулярны силовым линиям. Так, например, эквипотенциальные поверхности точечного заряда представляют собой концентрические сферы с общим центром в точке нахождения заряда. Для однородного электрического поля эквипотенциальные поверхности представляют собой плоские поверхности перпендикулярные вектору напряженности.