1

Механические колебания

Механическими колебаниями называется движение, при котором все характеристики движения тела или системы тел (положение, скорость, ускорение и т. д.) полностью или почти полностью повторяются через определенные промежутки времени. Чаще всего колебательное движение является результатом взаимодействия нескольких тел. Поэтому говоря о колебаниях какого-то тела, мы будем подразумевать, что это тело является частью колебательной системы. Механические колебания бывают свободными, вынужденными и автоколебания.

Свободные колебания – это колебания, происходящие под действием внутренних сил колебательной системы. Для возникновения свободных колебаний систему (тело) достаточно вывести из положения равновесия и предоставить самой себе.

Вынужденные колебания происходят под действием внешней периодической силы.

Для того, чтобы система могла совершать свободные колебания, у нее должно существовать устойчивое положение равновесия. Если тело вывести из устойчивого положения равновесия, то на него начнет действовать возвращающая сила, стремящаяся вернуть его обратно в положение равновесия. Если тело отпустить, то оно начнет двигаться к положению равновесия. При этом скорость его будет увеличиваться и к моменту, когда тело вернется в положение равновесия, у него будет некоторая скорость. Поэтому тело не сможет остановиться, по инерции проскочит положение равновесия и начнет отклоняться от положения равновесия в противоположную сторону. То есть ситуация начнет повторяться. Так как при движении тел на них всегда действуют силы сопротивления, то возникшее колебательное движение через некоторое время прекратится. То есть все реальные свободные колебания являются затухающими. Однако, для того, чтобы имело смысл говорить о каких–то колебаниях, к моменту их затухания система должна сделать достаточно большое количество колебаний. Для этого необходимо, чтобы силы сопротивления движению в системе были достаточно малы. Это еще одно необходимое условие для возникновения в системе свободных колебаний.

Если силы сопротивления движению в системе полностью отсутствуют, то в процессе колебаний все характеристики движения будут повторяться полностью и колебания будут происходить без затухания. Такие колебания, раз возникнув, будут продолжаться вечно и называются незатухающими. Далее мы будем, в основном, рассматривать незатухающие колебания.

Минимальный промежуток времени, через который повторяются все характеристики движения колебательной системы, называется периодом колебаний - Т. Единица измерения периода – секунда [с].

Величина обратная периоду показывает сколько колебаний совершает система за единицу времени и называется частотой колебаний:

Единица измерения частоты – герц [Гц]. Однако часто частота задается просто количеством колебаний в секунду [с^-1].

Величина максимального отклонения системы от положения равновесия называется амплитудой колебаний. Причем отклонение от положения равновесия может выражаться в разных величинах. Так для колебаний груза на нити отклонение может выражаться расстоянием от положения равновесия груза до его текущего положения, а может выражаться углом отклонения нити от вертикального положения. За одно полное колебание тело проходит амплитуду четыре раза. Если тело совершает колебания, то периодически изменяются все характеристики его движения: координаты, скорость, ускорение, энергия. Соответственно амплитудой скорости и ускорения называется модуль максимальной величины скорости и ускорения.

В школьном курсе физики рассматриваются, в основном, только гармонические колебания. Если при отклонении тела от положения равновесия возникает возвращающая сила прямо пропорциональная величине отклонения от положения равновесия и силы сопротивления движению полностью отсутствуют, то свободные незатухающие колебания такой системы называются гармоническими. Признак гармоничности колебаний:

Коэффициент пропорциональности  между возвращающей силой F_x и величиной отклонения от положения равновесия х называется коэффициентом квазиупругой силы. Знак минус означает, что возвращающая сила направлена в сторону противоположную направлению отклонения от положения равновесия, то есть к положению равновесия.

П усть тело совершает колебания вдоль оси Х. Пусть начало оси Х совпадает с положением равновесия тела. Если колебания гармонические, то зависимость координаты тела от времени можно записать в виде:

Здесь А – амплитуда колебаний. При этом координата тела изменяется в промежутке от –А до +А.

Величина называется циклической или круговой частотой колебаний. Единицей измерения этой величины является рад/с. Аргумент синуса или косинуса называется фазой колебаний. Эта величина показывает какое положение внутри колебательного промежутка занимает тело в данный момент времени. Фаза колебаний измеряется в радианах (рад). Фаза колебаний в начальный момент времени t = 0, то есть ₀ называется начальной фазой. Эта величина показывает в каком положении находилось тело в начальный момент времени или каким образом возникли колебания.

В некоторых случаях для простоты начальную фазу можно принять равной нулю. Если для возникновения колебаний тело в момент времени t = 0 отклонили от положения равновесия на величину А и без начальной скорости отпустили, то зависимость координаты тела от времени можно записать в виде:

Если же в начальный момент времени телу в положении равновесия сообщили некоторую начальную скорость, то можно написать:

Во всех остальных случаях зависимость x(t) надо записывать в общем виде (*).

Если тело совершает гармонические колебания, то его скорость и ускорение тоже изменяются по гармоническому закону. Если зависимость координаты тела от времени задается в виде:

то зависимость скорости от времени имеет вид:

а зависимость ускорения от времени:

Если

то

Н а рисунке представлены графики зависимости координаты, скорости и ускорения тела от времени для случая, когда зависимость координаты от времени задается в виде: .

Величина, стоящая перед синусом или косинусом в зависимости некоторой величины от времени является максимальным или амплитудным значением этой величины. Значит для гармонических колебаний выполняется следующая связь между максимальными значениями отклонения А, скорости v_m и ускорения a_m:

Гармонические колебания обладают двумя замечательными свойствами:

1) период гармонических колебаний не зависит от их амплитуды;

2) при гармонических колебаниях максимальные отклонения тела в обе стороны от положения равновесия одинаковы.

Если тело совершает гармонические колебания, то можно записать:

Значит ускорение тела тоже пропорционально величине отклонения от положения равновесия:

Но при гармонических колебаниях коэффициент пропорциональности между ускорением и величиной отклонения равен квадрату циклической частоты колебаний:

Значит можно написать:

Отсюда получаем связь периода гармонических колебаний с коэффициентом квазиупругой силы: