§ 8. Решение задач о равноускоренном движении. Аналитический и графический способы решения

1. С поверхности Земли вертикально вверх бросают камень со скоростью, модуль которой равен 20 м/с. Считая движение камня свободным падением, запишите закон движения камня вдоль вертикально направленной оси и закон изменения проекции его скорости на эту ось. Определите координаты камня и проекции его скорости в моменты времени: 0; 1; 2; 3; 4 с. Постройте графики зависимостей от времени координаты камня и проекции его скорости.

2. Мальчик бросает вертикально вверх теннисный мяч со скоростью . Пренебрегая влиянием воздуха, определите: а) максимальную высоту подъёма Н мяча; б) время полёта t_п мяча; в) высоту h, на которой окажется мяч к моменту времени 0,8 · t_п; г) путь S, который пролетит мяч к моменту времени 0,8 · t_п. Задачу решите аналитическим способом.

Решение.

Шаг 0. Выбор модели.

Будем считать мяч __________ телом, а его движение ______________ падением, поскольку влиянием воздуха следует пренебречь. Поэтому во время полёта ускорение мяча направлено __________________ и по модулю равно _________ За момент окончания полёта мяча примем момент, когда мяч вновь окажется в точке его отрыва от руки в момент броска.

Шаг 1. Выбор системы отсчёта.

Систему отсчёта свяжем с ___________. Начало отсчёта поместим в точку отрыва мяча от руки. Ось Y направим _______________. Часы включим в момент ________________

Шаг 2. Определение начальной координаты.

В выбранной системе отсчёта начальная координата мяча: y = _______

Шаг 3. Определение проекций начальной скорости и ускорения.

Проекции на ось Y начальной скорости мяча = _________, проекция на ось Y ускорения a_y =___________

Шаг 4. Закон движения мяча во время его движения:

y(t) = ________________________ при .

Шаг 4*. Закон изменения проекции скорости мяча на ось Y от времени:

υ_y(t) = ______________________ при .

Шаг 5. Запись условий задачи в виде уравнений.

В момент t_м максимального подъёма скорость мяча обращается в нуль. Поэтому ______.

В момент t_п падения __________, причём .

В момент времени 0,8 · t_п координата мяча станет равной _____________. Поскольку во время полёта мяч изменил направление движения, то _______ ________________________________________.

Шаг 6. Объединение уравнений в систему.

y(t) = ____________ при (1) (_______________________)

υ_y(t) = ____________ при (2) (_______________________)

____________ (3) (_______________________)

__________, причём (4) (_______________________)

____________ (5) (_______________________)

_________________ (6) (________________________)

Шаг 7. Решение системы уравнений.

Шаг 8. Анализ размерностей полученных соотношений для определения искомых величин. Соответствие соотношений жизненному опыту.

Ответ: H = __________ t_п = ____________ h = ___________ S = ___________

3. Движущийся по прямолинейной трассе гоночный автомобиль со скоростью, модуль которой км/ч, начинает тормозить с постоянным ускорением, модуль которого м/с². Определите время t, через которое остановится автомобиль после начала торможения, и длину L пути, который проедет автомобиль за это время. Задачу решите графическим способом.

Решение.

Шаг 0. Выбор модели.

Шаг 1. Выбор системы отсчёта.

Шаг 2. Определение начальной координаты.

Шаг 3. Определение проекций начальной скорости и ускорения.

Шаг 4. Построение графика зависимости проекции скорости автомобиля от времени и определения по этому графику искомых величин t и L.

Ответ: t = _____________ L = ___________________

4. Пассажир, стоящий на платформе, заметил, что первый вагон прибывающего поезда прошёл мимо него за время с, а второй вагон — за с. Когда поезд остановился, пассажир оказался на расстоянии м от начала первого вагона. Определите модуль ускорения поезда, считая его постоянным.

5. Вдоль наклонной плоскости скользит брусок. Участок АВ брусок проходит, двигаясь равноускоренно, со средней скоростью, модуль которой равен υ₀. В точке А его скорость по модулю на Δυ меньше, чем в точке В. Определите скорость бруска в точке С, расположенной между точками А и В и отстоящей от точки А на 1/n часть длины участка АВ.

6. Ракета, запускаемая вертикально вверх с поверхности Земли, в течение с разгоняется с ускорением, модуль которого в раза больше модуля ускорения свободного падения g. Затем двигатели прекращают работу. Определите: а) модуль максимальной скорости ракеты; б) высоту подъёма ракеты; в) путь, пройденный ракетой. Считайте движение ракеты с неработающими двигателями свободным падением.

7. Кабина лифта движется вертикально вверх с постоянной скоростью относительно Земли. На пол кабины вертикально вниз падает упругий шарик. Известно, что после отскока шарик, не касаясь потолка, удаляется от пола лифта на максимальное расстояние за время τ, а к моменту следующего удара о пол проходит путь S относительно Земли. Определите скорость лифта.

8. Зачеркните в пунктах а) и б) варианты, образующие неверные утверждения.

При свободном падении точечного тела, брошенного под углом к горизонту:

а) проекция его скорости на лежащую в плоскости падения горизонтальную ось X, неподвижную относительно Земли:

не изменяется с течением времени; всё время увеличивается; всё время уменьшается; до некоторого момента уменьшается, а потом увеличивается; до некоторого момента увеличивается, а потом уменьшается.

б) проекция его скорости на неподвижную относительно Земли и направленную вертикально вверх ось Y:

не изменяется с течением времени; увеличивается с течением времени; уменьшается с течением времени; до некоторого момента уменьшается, а потом увеличивается; до некоторого момента увеличивается, а потом уменьшается.

9. Из миномёта произведён выстрел по мишени, находящейся на высоте h над горизонтальной поверхностью. Мина вылетает под углом α к горизонту с начальной скоростью, модуль которой равен v₀. После пролёта максимальной высоты мина попадает в мишень. Пренебрегая влиянием воздуха на мину, определите время t_п и дальность L её полёта по горизонтали от места выстрела до места попадания в мишень, модуль скорости υ(t_п) падения мины, а также высоту Н её максимального подъёма. Задачу решите аналитически.

Решение.

Шаг 0.

Будем считать мину ___________ телом, а её движение _______________ падением, поскольку влиянием воздуха можно пренебречь. Поэтому в любой момент времени ускорение мины направлено ______________ и по модулю равно _______.

Шаг 1.

Систему отсчёта свяжем с ___________. Начало отсчёта поместим в точку выстрела. Ось X направим горизонтально в направлении ______________. Ось Y направим _________________. Часы включим в момент ____________.

Шаг 2.

В выбранной системе отсчёта начальные координаты мины: х = _____, y = _______.

Шаг 3.

Проекции начальной скорости мины на координатные оси X и Y соответственно равны: = ____________________________________________и = ______________________________________.

Шаг 4.

Ускорение мины в любой момент времени равно ___ и направлено ______________________ оси Y. Поэтому проекции ускорения мины на оси X и Y равны: = ___; = _____. Движение мины вдоль оси X является _________________, а ее координата х изменяется по закону: x(t) = _______________________.

Так как проекция ускорения мины на ось Y _______________, координата мины вдоль оси Y изменяется по закону: y(t) = ________________________.

Шаг 4*.

Законы изменения проекций скорости мины от времени имеет вид:

υ_х (t) = ______________________, υ_y (t) = ______________________.

Шаг 5.

По условию задачи в момент времени t_п падения мины на мишень координата у мины удовлетворяет уравнению: y(t_п) = _____________________.

В этот момент проекция скорости мины на ось y равна:

υ_y(t_п) = ________________________.

Время t_м достижения максимальной высоты полёта определим из условия равенства нулю компоненты скорости мины вдоль оси ____: ___________________________________.

Шаг 6.

Система уравнений имеет вид:

y(t) = ________________________; (1) (закон движения по оси Y)

x(t) = ________________________; (2) (закон движения по оси X)

υ_y(t) = _______________________; (3) (закон изменения проекции скорости

вдоль оси Y)

υ_x(t) = _______________________; (4) (закон изменения проекции скорости

вдоль оси X)

y(t_п) = _______________________; (5) (условие падения)

υ_y (t_м) = ______________________; (6) (условие максимального подъёма)

Шаг 7. Решение системы уравнений.

Из уравнений (1) и (5) получим уравнение для расчета времени движения до попадания в мишень: _________________________________________.

Решение этого уравнения даёт два корня, отвечающие моментам времени прохождения миной уровня h. Попаданию в мишень соответствует больший из этих корней. Поэтому: t_п = _____________________.

Подставляя это значение в уравнение (2), вычисляем дальность полёта мины по горизонтали (вдоль оси Х): L = _______________________________.

Подстановка полученного значения времени полёта t_п мины в уравнение (3) позволяет вычислить проекцию скорости мины v_y(t_п) на ось Y в момент попадания в мишень: υ_y(t_п) = _______________________________.

Модуль скорости мины в момент попадания в мишень определим из (3) и (4): υ(t_п) = __________________________.

Угол φ между вектором скорости мины в момент t_п и осью Х определим из соотношения: tgφ = _____________.

Из уравнений (7) и (3) найдём время подъёма мины на максимальную высоту:

t_м = _____________________; а затем из (1), определим максимальную высоту подъёма мины: H = _____________________________________.

Ответ: Время полёта мины t_п = _____________; в момент t_п модуль скорости мины υ(t_п) = _____________. Вектор скорости мины в этот момент образует с осью Х угол φ = _____.

Дальность полёта мины по горизонтали L = ___________, а максимальная высота подъёма мины H = _________.

10. Камень, брошенный вертикально вверх, упал на Землю через  с. На каком расстоянии по горизонтали от точки бросания упадёт камень на Землю, если его бросить с той же начальной скоростью, но под углом  к горизонту?

11. Самолёт, летящий на высоте Н горизонтально со скоростью , сбрасывает груз. Под каким углом к горизонту штурман должен видеть место приземления груза в оптический прицел в момент сброса, чтобы обеспечить попадание?