Задача № 10

Потери напряжения и потери активной мощности в линии электропередачи являются непрерывными случайными величинами.

Законы распределения непрерывных случайных величин обычно задаются в виде функции распределения вероятностей или в виде плотности распределения вероятностей.

Плотностью распределения вероятности случайной величины называется первая производная интегральной функции распределения, которую также называют дифференциальной функцией распределения и обозначают f(x):

f(x) = F'(x)

Плотность распределения вероятностей существует только для непрерывных случайных величин и всегда неотрицательна.

. График плотности распределения вероятностей называется кривой распределения.

Размерность плотности распределения вероятностей обратна размерности случайной величины.

Вероятность того, что величина Х примет значение в интервале (a;b) равна разности значений интегральной функции распределения на границах интервала:

Р(a ≤ Х < b) = F(b) – F(a).

Ту же вероятность можно найти по плотности распределения, тогда

Р(a ≤ Х < b) = F(b) – F(a) = .

Геометрически вероятность попадания СВ в интервал между точками а и b – это площадь под кривой распределения, лежащая между точками а и b.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение ниже некоторого установленного предельного значения а, равна интегральной функции распределения, определенной для этого значения:

Р(Х < а) = F(а) = .

Геометрически (рис. 6) такая вероятность – это площадь под кривой распределения, лежащая левее точки а.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение не менее некоторого установленного значения а:

Р(Х ≥ а) = 1 - F(а) = ,

то есть эта вероятность является площадью под кривой распределения, лежащей вправо от точки а.

Вся площадь под кривой распределения равна единице, т.е. вероятности того, что СВ примет любое значение в пределах от минус до плюс бесконечности.

Случайная величина распределяется по нормальному закону распределения (закону Гаусса), если на принимаемые ею значения влияет большое количество разнообразных примерно одинаковых по своему влиянию случайных факторов. Примерами таких случайных величин могут быть погрешности измерений, уровни напряжения на подстанции, рост и вес человека и т.п.

Плотность распределения случайной величины Х, распределённой по нормальному закону (его так же называют «Общим нормальным законом» или «Общим законом Гаусса») графически описывается кривой Гаусса (рис. 7) и определяется выражением: f(x) = ,

где m- это одновременно мода, медиана и математическое ожидание СВ;

 - среднее квадратическое отклонение СВ.

Если изменять m, то кривая распределения будет смещаться вдоль оси абсцисс, не изменяя своей формы.

Параметр  характеризует форму кривой; при увеличении  максимальная ордината (максимальное значение плотности распределения) уменьшается, и кривая Гаусса становится более пологой, в большей степени «расплываясь» вдоль оси Х.

Одним из важнейших свойств закона Гаусса является, так называемое, «Правило трёх сигм»: практически все (точнее - 0,9973 всех) реальные значения случайной величины, распределенной по закону Гаусса, находятся в интервале  3, отложенном от математического ожидания.

Для того, чтобы вычислять площади под кривой распределения (нахождение этих площадей необходимо для определения вероятностей попадания случайных величин в тот или иной диапазон) используется так называемая нормированная нормальная функция распределения F₀(t).

Нормированная нормальная функция распределения F₀(t) есть ни что иное, как функция распределения для нормального закона (рис. 8) с параметрами: математическое ожидание m равно нулю, среднее квадратическое отклонение  равно единице:

F₀ (t) = .

Для перехода от общего закона Гаусса к нормированному закону Гаусса необходимо произвести замену переменной: t = (х – m)/.

Смысл такой замены следующий: вместо значений случайной величины х, имеющих некоторую размерность и определяющих положение точек на именованной оси Х, используются безразмерные значения t, определяющие положение точек на безразмерной оси нормированного распределения и показывающие расстояния рассматриваемой точки от математического ожидания, выраженные в средних квадратических отклонениях .

Тогда F(х) = F₀(t) = F₀((х – m)/).

Так, например, если случайная величина – напряжение в точке сети - распределена по закону Гаусса с параметрами m = 380 В,  = 10 В, то функция распределения этой величины для значения 370 В может быть выражена через нормированную функцию распределения следующим образом:

F(370) = F₀ ((370-380)/10) = F₀ (-1).

То есть для нормированной функции значение 370 В соответствует точке, отстоящей от математического ожидания влево (знак минус!) на одно среднее квадратическое отклонение.

Известно, что интеграл через элементарные функции не выражается. Поэтому значения нормированной нормальной функции распределения найдены численным методом и сведены в таблицы, которые можно найти в любой учебной книге по теории вероятностей.

В литературе [1, 2, 3, 4] приводятся различные виды таблиц, позволяющих найти площадь под кривой Гаусса. Для того, чтобы выяснить, значение каких площадей указано в таблице, необходимо обратить внимание на пределы интегрирования в выражении, записанном перед таблицей.

Наибольшее распространение получили таблицы следующих видов:

1) F₀(t) . 2) Φ(t) . 3) 2Φ(t) .

В таблицах 1-го вида указана площадь под кривой Гаусса, лежащая в пределах от минус бесконечности до t, т.е. они задают вероятность того, что СВ примет значение меньше, чем t. Для нахождения вероятности того, что СВ примет значение больше t, необходимо найти разность: 1 - F₀(t).

Таблицы 2-го вида принято называть функцией Лапласа или интегралом вероятностей. В них указана площадь под кривой Гаусса, лежащая в пределах от нуля до t, т.е. они задают вероятность того, что СВ примет значение меньше, чем t, но не менее нуля. Чтобы по этим таблицам найти нормированную нормальную функцию распределения, надо к табличному значению прибавить площадь под кривой, лежащую левее нуля, т. е. 0,5: F₀(t) = 0,5 + Φ(t). Для нахождения вероятности того, что СВ примет значение больше t, необходимо найти разность: 0,5 - Φ(t).

При использовании функции Лапласа может возникнуть затруднение в нахождении площадей под кривой Гаусса для отрицательных значений t, так как в таблицах 2-го вида отрицательные значения переменной не указаны.

Это затруднение легко разрешить, если учесть, что площади под кривой Гаусса слева от -t и справа от t равны (рис.9), т.е Ф(-t) = 0,5 – Ф(t).

Таблицы 3-го вида позволяют определять площадь под кривой Гаусса для интервалов, симметричных относительно математического ожидания, например для интервала от

–2,5 до 2,5. Значения, полученные по этим таблицам, в два раза превышают значения, указанные в таблицах 2-го вида.

Потери напряжения и потери активной мощности в линии электропередачи являются функциями случайной величины - тока в линии. Для решения задачи следует записать эти функциональные зависимости, учитывая, что ток и сопротивление заданы для одной фазы линии, а потери мощности следует искать для линии в целом.

Для нахождения математического ожидания потерь следует, воспользоваться свойствами математического ожидания и получить расчетную формулу, сопроводив ее вывод необходимыми пояснениями.