Задача № 2

Так как отказы любых выключателей равновероятны, необходимо сначала определить общее количество вариантов (исходов), когда в состоянии отказа находятся одновременно два любых выключателя энергосистемы. Например, если бы в энергосистеме было всего три выключателя, то таких вариантов было бы только три: 1-й и 2-й выключатель в состоянии отказа, 1-й и 3-й, 2-й и 3-й. При большем числе выключателей следует воспользоваться известной формулой комбинаторики: количество сочетаний C из n элементов по k: C = .

После этого аналогичным образом необходимо определить число исходов, в которых оба отказавших выключателя находятся на электростанции. В итоге для нахождения ответа можно использовать классическую формулу определения вероятности события.

При решении необходимо учитывать все выключатели энергосистемы (в том числе, установленные на электростанции и на низкой стороне трансформаторов подстанций потребителей).

Задача № 3

Задача решается непосредственно по геометрической формуле определения вероятности событий. В общем виде формула имеет вид:

Р(А)=mes d/mes D.

Иначе говоря, геометрическая вероятность определяется как отношение меры mes d области d, благоприятствующей событию А, к мере mes D всей области D.

Для линии мерой «области» является её длина: Р(А)=l /L;

Решение должно сопровождаться эскизом, на котором указываются длины всех необходимых для решения задачи участков, и выделяется участок, на котором согласно условию произошёл обрыв (будьте внимательны с определением этого участка).

Задача № 4

Эта задача является наиболее сложной и в то же время методически наиболее важной. Её освоение во многом способствует успешному овладению всем курсом. При решении используются формула умножения вероятностей случайных событий, а также формула полной вероятности. Относительно редко может быть использована формула сложения вероятностей.

Как и в задаче №1, целесообразно разбить всю энергосистему на 3 подсистемы: электростанция, районная электрическая сеть, подсистема питания потребителя. Рассчитать надёжность каждой из подсистем, и найти итоговый результат, учитывая, что все три подсистемы соединены между собой последовательно.

При расчёте надёжности каждой из подсистем следует применять метод постепенного свертывания исходной логической схемы путем замены групп последовательных и параллельных элементов одним элементом. При таких заменах целесообразно использовать формулу умножения вероятностей событий как более компактную и удобную. Если при решении возникает необходимость использовать формулу сложения вероятностей, то переход к формуле умножения легко осуществить путем нахождения вероятности противоположного события: отказа вместо безотказной работы и наоборот. Если все же по какой-либо причине будет использована формула сложения, то следует помнить, что нахождения элементов в состоянии отказа (как и в состоянии работоспособности) являются событиями совместными. Это обстоятельство требует использования формулы сложения для совместных событий, но она может быть весьма громоздкой.

Для освоения методики свертывания последовательно-параллельной схемы достаточно понять последовательность расчета надежности двух простейших логических схем: с тремя последовательными и с тремя параллельными элементами.

В схеме с тремя последовательными элементами (рис. 3) целесообразно сначала определять вероятность работоспособного состояния. Такая схема работоспособна (сигнал поступает от входа системы на её выход), когда работоспособны все составляющие её элементы: и линия и оба выключателя. Наличие в этой фразе союза «и» является признаком произведения событий, что влечёт за собой использование формулы умножения. Чтобы не ошибиться в том, какие вероятности следует перемножать, надо вернуться к исходной фразе, и убедиться в том, что речь идёт о работоспособности элементов. Значит, в формуле умножения должны присутствовать в качестве сомножителей вероятности работоспособного состояния:

Р_С = Р_В1Р_В2Р_Л,

где Р_В1, Р_В2, Р_Л, Р_С – вероятности работоспособного состояния соответственно 1-го, 2-го выключателей, линии, системы в целом.

Вероятность отказа системы Q_С = 1 - Р_С .

Аналогично можно рассчитать надёжность схем и с другим числом последовательно соединенных элементов.

В схеме с тремя параллельными элементами (рис. 4) целесообразно сначала определять вероятность отказа. Такая схема отказывает (сигнал от входа системы на её выход не поступает), когда в состоянии отказа находятся все составляющие её элементы: и 1-й, и 2-й, и 3-й. В этой фразе вновь присутствует союз «и». Это является признаком произведения событий с последующим применением формулы умножения. Опять-таки, чтобы не ошибиться в том, какие вероятности следует перемножать, надо вернуться к исходной фразе, и убедиться в том, что речь идёт об отказах э лементов. Значит, в формуле умножения должны присутствовать вероятности отказа элементов:

Q_C = Q₁ Q₂Q₃,

где Q₁, Q₂ , Q₃, Q_С – вероятности отказа соответственно 1-го, 2-го, 3-го элементов, системы в целом.

Вероятность работоспособного состояния системы Р_С = 1 - Q_С .

Аналогично можно рассчитать надёжность схем и с другим числом параллельно соединенных элементов.

При свертывании последовательно-параллельной схемы каждый очередной этап должен сопровождаться соответствующим рисунком.

Если на одном из этапов расчета получившаяся схема не сводится к последовательно-параллельной структуре, то рекомендуется оценивать ее надежность по формуле полной вероятности. Так, для схемы «мостика» (рис.2) вероятность безотказной работы Р(А) определится как

Р(А) =  Р(Н_i) Р(А/Н_i),

где Р(Н_i) - вероятность i-й гипотезы;

Р(А/Н_i) - условная вероятность работоспособного состояния схемы при i-й гипотезе.

В качестве гипотез, образующих полную группу, целесообразно рассматривать гипотезы о состоянии («работоспособность» или «отказ») одного элемента (лучше всего элемента F) или сразу двух элементов (лучше всего - A и C или B и D). Н апример, для любой пары элементов возможны 4 гипотезы:

- оба элемента работоспособны;

- оба элемента отказали;

-работоспособен 1-й элемент и отказал 2-й;

-отказал 1-й элемент и работоспособен 2-й.

Расчёт по формуле полной вероятности удобно оформлять в виде таблицы. В графах таблицы указываются формулы расчёта и численные значения для вероятностей гипотез (например, вероятность работоспособного состояния элементов А и С) и для условных вероятностей событий при этих гипотезах (например, вероятность работоспособного состояния системы при условии, что элементы А и С работоспособны). После заполнения таблицы окончательный результат находится по формуле полной вероятности.

Применять для расчёта надёжности «метод путей» в данной задаче нецелесообразно. Причиной является то, что многие элементы системы одновременно входят в состав сразу нескольких путей. Это предполагает использование формулы умножения для зависимых событий, что существенно усложняет расчёт надёжности.

При решении задачи путем поэтапных преобразований схемы необходимо после каждого преобразования определять вероятности работоспособного состояния и отказа вновь образованных элементов сначала в общем виде, а затем после подстановки в формулы исходных данных находить численный ответ. Получать обобщенное выражение для нахождения показателей надежности всей системы в общем виде не требуется, так как оно может получиться излишне громоздким.

Кроме того, нахождение промежуточных численных решений позволяет легко контролировать правильность расчета. При этом необходимо помнить, что любая цепь из последовательно соединенных элементов менее надёжна, чем любой (даже самый ненадежный) из составляющих её элементов, т.е. вероятность отказа такой цепи больше вероятности отказа самого ненадёжного элемента.

Надёжность любой резервированной системы (такие системы представляются в виде параллельных логических схем) всегда выше, чем надёжность самого надёжного из составляющих её элементов. В таких системах вероятность отказа всегда меньше вероятности отказа самого надёжного из элементов.