- •Элементы общей алгебры
- •Алгебраические системы
- •Арифметика
- •Целочисленное деление
- •Алгебра матриц
- •Алгебра многочленов
- •Векторная алгебра
- •Алгебра логики
- •Арифметика вычетов по модулю n
- •Алгебра множеств
- •Операции с нефиксированным числом операндов
- •Свойства алгебраических операций
- •Коммутативность
- •Нейтральный элемент
- •Симметричный элемент
- •Ассоциативность
- •Вычисления в полях вычетов
Нейтральный элемент
Элемент eM называется нейтральным относительно рассматриваемой операции , если для любого xM выполняются равенства xe=x и ex =x.
Относительно сложения чисел нейтральным является число 0, относительно сложения векторов – нуль-вектор 0, относительно сложения матриц – нулевая матрица надлежащего размера (т.е. матрица, заполненная нулями), относительно умножения чисел – число 1, относительно умножения квадратных матриц – единичная матрица E надлежащего порядка.
Имеются ли нейтральные элементы относительно операций НОД и НОК на множестве натуральных чисел N? Относительно НОД такого элемента нет хотя бы потому, что НОД(x,y)min(x,y). Относительно НОК нейтральным элементом является 1, поскольку НОК(x,1)=x.
Относительно векторного умножения нейтрального элемента нет.
Относительно сложения многочленов нейтральным элементом является нулевой многочлен, относительно их умножения – многочлен нулевой степени, константа 1. Относительно композиции многочленов нейтральным элементом является тождественная функция e(x)=x (многочлен степени 1).
В алгебре логики нейтральным элементом относительно конъюнкции является "истина ", т.е. 1, а относительно дизъюнкции и XOR – "ложь", т.е. 0. Относительно импликации нейтрального элемента нет.
Относительно сложения по модулю n нейтральным элементом является 0, относительно умножения по модулю n нейтральным элементом является 1.
Относительно формальной операция на множестве M={a,b,c}, заданной таблицей 1.4, нейтральным элементом является a, поскольку строка таблицы, соответствующая этому элементу, совпадает с шапкой таблицы, а столбец, соответствующий этому элементу, совпадает с боковиком таблицы.
В алгебре множеств относительно объединения и относительно симметрической разности нейтральным элементом является пустое множество , относительно пересечения нейтральным элементом является универс U.
Следующий пример имеет нестандартный характер. Рассмотрим множество целых чисел Z (можно было бы взять множество рациональных чисел Q или множество вещественных чисел R или даже множество комплексных чисел C) и определим на нем операцию: xy=x+y–1. Вопрос: имеется ли для этой операции нейтральный элемент e? Для него должно выполняться равенство xe=x при любом x. В левой части xe=x+e–1, в правой части просто x. Приравнивая, получим x+e–1=x, откуда e=1. Таким образом нейтральный элемент относительно операции существует, это 1.
Симметричный элемент
Для произвольного элемента xM симметричным элементом называется такой M, что x =e и x=e (существование нейтрального элемента e предполагается).
Если операция есть сложение чисел, то e=0, симметричным к числу x является число –x.
Если операция есть сложение векторов, то e=0 (нуль-вектор), симметричным к вектору x является вектор –x.
Если операция есть умножение чисел, то e=1, симметричным к числу x является число x–1. Поскольку x–1 существует только для x0, необходимо более аккуратно определить базовое множество M. Потребуем, например, чтобы это были рациональные (или вещественные, или комплексные) числа, отличные от нуля. Если x0 и y0, то и z=xy0, так что операция на этом множестве определена корректно (множество замкнуто относительно операции).
Аналогично обстоит дело в случае, когда операция есть умножение квадратных матриц. Нейтральным элементом e является единичная матрица E, симметричной к матрице X является обратная матрица X–1. Но обратная матрица существует только в случае, когда матрица X невырождена, т.е. detX0. Пусть базовое множество M состоит из квадратных невырожденных матриц некоторого порядка n. Замкнуто ли это множество относительно операции умножения матриц? Иными словами, если detX0 и detY0, а Z=XY, можно ли быть уверенным, что detZ0? Ответ положительный, поскольку в алгебре матриц доказывается, что определитель произведения равен произведению определителей, т.е. det(XY)=detXdetY.
Относительно операции НОК на множестве натуральных чисел существует нейтральный элемент – это e=1. Однако для произвольного xN не существует симметричного элемента , для которого выполняется условие НОК(x, )=1 – хотя бы потому, что НОК(x,y)max(x,y).
В алгебре многочленов относительно операции сложения, где нейтральный элемент – нулевой многочлен, симметричным к многочлену f(x) является многочлен –f(x), получающийся сменой знаков у всех коэффициентов. Относительно операции умножения симметричные многочлены существуют только для многочленов нулевой степени, т.е. для чисел, отличных от 0. В самом деле, если взять f(x)=x+2, то функция не является многочленом.
Многочлен , симметричный многочлену f(x) относительно композиции, должен удовлетворять соотношениям и . Пусть f(x)=x2. Тогда этим соотношениям более или менее удовлетворяет функция , но, во-первых, это не многочлен, а во-вторых, есть проблема с областью определения и с неоднозначностью функции . Поэтому, чтобы иметь симметричные элементы относительно композиции, ограничим базовое множество многочленами первой степени, т.е. линейными функциями вида f(x)=ax+b. Тогда, если y=ax+b, то . Чтобы получить функцию , симметричную линейной функции f(x)=ax+b относительно композиции, переобозначим переменные в выражении x через y и получим . Ясно, что симметричная функция существует только при a0. Линейные функции с коэффициентом a0 будем называть невырожденными (а с a=0 – вырожденными).
Множество невырожденных линейных функций замкнуто относительно композиции. В самом деле, пусть f(x)=a1x+b1 а g(x)=a2x+b2 , тогда их композиция fg задается выражением
f(g(x))=a1(a2x+b2)+b1=a1a2x+ (a1b2+b1),
т.е. снова получается невырожденная линейная функция.
В алгебре логики, если операция есть конъюнкция (нейтральный элемент e=1), симметричного элемента для произвольного x нет. Если операция есть дизъюнкция (нейтральный элемент e=0), симметричного элемента для произвольного x также нет. Если операция есть XOR (нейтральный элемент e=0), симметричным элементом для произвольного x является он сам: x XOR x=0.
Для формальной операции на множестве M={a,b,c}, заданной таблицей 1.4, где нейтральным элементом является a, симметричным для b является c, а для c симметричным является b, поскольку согласно этой таблице bc = cb = a, симметричным элементом для a является сам a.
В алгебре множеств относительно объединения и пересечения симметричных элементов нет, относительно симметрической разности симметричным элементом для любого множества A является оно само, поскольку AA=, а нейтральным элементом относительно как раз и является пустое множество .
Снова рассмотрим операцию: xy=x+y–1. Вопрос: имеется ли относительно этой операции симметричный элемент для любого числа x? Должно существовать такое число , что x =e. В левой части x =x+ –1, в правой части e=1. Приравнивая, получим x+ –1=1, откуда =2–x. Таким образом, симметричный элемент относительно операции существует для любого числа.