Дисперсия

Дисперсия ДСВ =

Дисперсия позволяет оценить, как рассеяны возможные значения СВ вокруг ее МО. Чем сильнее рассеяние, тем больше дисперсия.

Формула для вычисления дисперсии:

Дисперсия равна разности между МО квадрата СВ и квадратом ее МО.

Свойства дисперсии:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D[C*X] = C²*D[X]

2. Дисперсия постоянной величины = 0:

3. Дисперсия суммы независимых СВ = сумме их дисперсий:

XY

.

Следствия из 3 свойства:

а) Дисперсия суммы случайных величин const = D СВ

б) D разности независимых СВ = сумме их D.

Для оценки рассеяния СВ вокруг ее МО, используют характеристику, измеряемую в единицах СВ и называемую средним квадратическим отклонением (СКО):

Биномиальное распределение

Биномиальным называется закон распределения ДСВ Х (Х – это число появления событий в N независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события одинакова и = Р), вероятность возможных значений которой ( ) вычисляется по формуле:

P

Запишем закон распределения:

X	0	1	2	…	n	…	N
P				…		…

Проверим, что данное распределение – закон:

1=1+P-P=P+q=/q-верятность непоявления события/ = .

Вычислим МО. Для этого рассматриваемую СВ Х представим:

Х = , где – число появления события в n – ом испытании.

1) определим M

	0	1
	q	P

M

Т.к. все СВ независимы, то МО их суммы = сумме их МО.

2) вычислим дисперсию СВ Х:

	0	1
	q	P

M

Т.к. все СВ независимы, то дисперсия их суммы = сумме их дисперсий.

Определить значение вероятности появления события Р, при котором дисперсия имеет максимальное значение:

Распределение Пуассона

СВ подчиняется распределению Пуассона, если вероятность его возможных значения определяется формулой Пуассона.

Закон распределения:

X	0	1	2	…	n
P				…

Проверим, что данное распределение – закон:

1) Определим МО:

2) Определим дисперсию:

= = =

=

Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления событий одна и та же и = Р (q=1-P- вероятность не появления события). Испытание закончится, как только появится рассматриваемое событие.

Обозначим через Х ДСВ, равную числу испытаний до первого появления события.

СВ Х подчиняется геометрическому распределению.

Закон распределения СВ:

X	1	2	…	k
X			…

Проверим, что данное распределение – закон:

1) Определим МО:

=/1+q+…+ возьмем производную от левой и правой частей: / = =

2) Вычислим :

, возьмем производную от левой и правой частей:

/=

P

34