- •Лекции по предмету Теория вероятности и математическая статистика Раздел «Случайные события»
- •Случайные события
- •Операции над событиями
- •Свойства операций над событием
- •Определение вероятности
- •Теорема сложения вероятностей
- •Теорема умножения вероятностей
- •Формула полной вероятности
- •Формула Байеса
- •Формула Бернулли
- •Дискретные случайные величины (дсв)
- •Параметры дсв
- •Дисперсия
- •Биномиальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •Геометрическое распределение
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Московский технический университет связи и информатики
Волго-Вятский филиал.
Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин
Лекции по предмету Теория вероятности и математическая статистика Раздел «Случайные события»
Выполнила Самойлова Е.А.
Принял Западаев И.И.
Нижний Новгород
2012 г.
Случайные события
Опыт – это наблюдение какого-либо явления при выполнении некоторого комплекса условий и действий, которые должны каждый раз строго выполняться при повторении данного опыта.
Характеристика опыта состоит в регистрации какого-либо факта, т.е. в определении того, обладает результат опыта каким-либо свойством или нет. Любой такой факт называется событием, при этом говорят, что событие появилось (не появилось) в результате опыта.
- учитываемые условия;
- неучитываемые условия.
, причины:
1) очень большое их количество;
2) механизм действия ряда условий неизвестен
Достоверным (D) |
Называется событие, которое |
Заведомо произойдет |
Если будут осуществляться совокупность условий и действий S |
|
Невозможным |
Заведомо не произойдет |
|
||
Случайным (А,В, С…) |
Может произойти (не) |
|
Предметом теории вероятности является изучение закономерностей массовых однородных случайных событий.
События называются несовместными, если появление 1-го из них исключает появление других в одном и том же испытании.
События называются независимыми, если появление 1-го из них никак не сказывается на появлении другого.
- события А и В независимые
- события А и В зависимые
- несовместные события
События образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.
Множество несовместных событий, образующих полную группу, называется множеством элементарных событий, а каждое событие называется элементарным.
Множество элементарных событий – Ω
Элементарное событие – ω.
(1) Пример: рассмотрим схему испытания: урна с 6 шарами (игральная кость)
Ω = { ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6}
А – событие, заключающееся в том, что (СЗТЧ) в результате испытания появится шар с четным номером.
ΩА = { ω2, ω4, ω6}.
В – событие, заключающееся в том, что в результате испытания появится шар с номером > 4.
ΩВ = { ω5, ω6}
ΩD = Ω
Ω =ø
Операции над событиями
1. Суммой событий А и В называется событие (А+В), состоящее из элементарных событий, принадлежащих А – ΩА или В – ΩВ (состоит в появлении события А или события В).
(А+В) : Ω(А+В) = ΩА ΩВ
а) Пусть В = D, тогда:
Ω (А+D) = ΩА ΩD = ΩА Ω = Ω = ΩD
А+D = D
б) Пусть В = , тогда
Ω (А+ ) = ΩА Ω = ΩА Ø = ΩА
А+ = А
Пример:
Ω(А+В) = { ω2, ω4, ω6} { ω5, ω6}={ω2, ω4, ω5, ω6}
2. Произведением событий А и В называется событие (А*В), состоящее из элементарных событий, принадлежащих и А, и В – ΩА и ΩВ (состоит в появления как события А, так и события В):
(А*В) : Ω(А*В) = ΩА ΩВ
а) Пусть В = D, тогда:
Ω (А*D) = ΩА ΩD = ΩА Ω = ΩА
А*D = А
б) Пусть В = , тогда
Ω (А* ) = ΩА Ω = ΩА Ø = Ø = Ω
А+ =
Пример: исходные данные из примера 1.
Ω(А*В) = { ω2, ω4, ω6} { ω5, ω6}={ ω6}
3. Разностью событий А и В называется событие (А-В), состоящее из элементарных событий, принадлежащих событию А: ΩА и не принадлежащих событию В: ΩВ (состоящее в появления события А и в не появлении события В):
(А-В) : Ω(А-В) = ΩА/ΩВ
А = D : = D - В;
- противоположное событию В.
Свойства противоположных событий:
1. Сумма противоположных событий является достоверным событием:
В+ = D
2. Произведением противоположных событий является невозможным событием:
В* =
В*(D-В) = В-В =
Пример: исходные данные из примера 1.
Ω(А-В) = { ω2, ω4, ω6}/{ ω5, ω6}={ω2, ω4}
Ω = { ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6}/{ ω2, ω4, ω6} ={ω1, ω3, ω5 }