Формула Байеса
Формула Байеса позволяет по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной, при этом совокупность исходных причин, которые могли вызвать данное событие, называют гипотезами.
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу (гипотезы).
Пусть в результате испытания события А произошло. С учетом этого, определим (отредактируем) вероятности гипотез.
Дано:
(априорные вероятности гипотез (до опыта))
(условные вероятности события А)
Найти:
(апосториорные вероятности гипотез (после опыта))
Решение:
Рассмосрим
событие вида 
.
Его вероятность:
,
отсюда
Пример: (2)
Определить вероятность того, что сдавший экзамен с первого раза является Ж.
.
Пример:
– СЗТЧ, передается сигнал «0»;
– СЗТЧ, передается сигнал «1»;
А – СЗТЧ, принято колебание А.
/
/
.
Формула Бернулли
Пусть производная N независимых испытаний (исход каждого не зависит от исхода других).
Вероятность появления события в каждом испытании одна и та же и = Р.
При
данных условиях вероятность появления
события равно n раз (n
равна:
РN(n)
Доказательство:
Вероятность того, что события в N испытаниях появится n раз и не появится (N-n) раз в связи с независимостью испытаний равна:
, таких ситуаций может быть столько,
сколько можно составить сочетаний из
N элементов по n.
В связи с несовместностью этих ситуаций, искомая вероятность будет равна сумме вероятностей каждой ситуации.
Таким образом можно записать:
(n)
.
Определим вероятность того, что при проведении 4-х независимых испытаний, событие появится 2 раза.
N
= 4; n = 2 
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
1) |
+ |
+ |
- |
- |
РР(1-Р)(1-Р) |
несовместные
события |
2) |
+ |
- |
+ |
- |
|
|
3) |
+ |
- |
- |
+ |
|
|
4) |
- |
+ |
+ |
- |
|
|
5) |
- |
+ |
- |
+ |
|
|
6) |
- |
- |
+ |
+ |
|
|
Наивероятнейшее число наступления событий
Пусть
указанное число = 
.
Тогда
(
)
(
)
(*)
(
)
(
)
(**)
Согласно (*), получаем:
Р
Р
Р
.
Аналогично из (**):
Формула Пуассона
Пусть количество испытаний N велико, а вероятность появления события Р в каждом мала.
При
этом величина N*Р = 
,
где
– некоторое постоянное число.
Определим вероятность появления события равно n раз.
Согласно формуле Бернулли:
(n)
/выразим
/
.
Устремим
P(n)
P(n)
Разность событий
(А-В)+В = А+В
Т.к. события (А-В) и В несовместны, то
Т.о. запишем:
Если события А и В несовместны, то:
Случайные величины
Случайная величина (СВ) – если принятие определенного значения некоторой величиной является случайным событием.
Случайная величина может характеризоваться одним, двумя, тремя случайными числами, такие величины называют одно, двух, трехмерными случайными величинами.
Случайная величина характеризуется 2-мя или более числами, называемых также системами СВ.
Если СВ принимает отдельные (изолированные) возможные значения, то она называется дискретной.
Если СВ принимает все значения из некоторого (ых) промежутка (ов), то она называется непрерывной.