Свойства операций над событием

Вытекают из свойств операций над множеством

1. Коммутативность

А+В = В+А; А*В = В*А

Ω_(А+В) = Ω_А Ω_В = Ω_В Ω_А= Ω_(В+А)

2. Ассоциативность

(А+В)+С = А+(В+С);

(А*В)*С = А*(В*С).

3. Дистрибутивность

(А+В)*С = А*С+В*С;

(А*В)+С = (А+С)*(В+С).

4. Поглощение

(А*В)+А = А;

(А+В)*А = А.

5. Идемпотентность

А+А = А

А*А = А.

Степень возможности появления события количественно оценивается вероятностью.

Вероятность – число!!!

Определение вероятности

Теория вероятности (ТВ), как любая наука, строится на аксиомах.

Формулировка аксиом является результатом длительного накопления фактов и логического анализа полученнных результатов с целью выявления основных первичных фактов.

Аксиома является обобщением продолжительного человеческого опыта. Аксоматическое построение ТВ базируется на основных свойствах вероятности, выявленных на примерах классического и статистического определения вероятности.

1. Аксиоматическое определение:

Вероятностью события называется числовая функция, удовлетворяющая следующим аксиомам:

1) Р(А)≥0,

2) вероятностью достоверного события = 1 ( Р(D) = 1).

3) если А1, А2,…,Ак… несовместны, то вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей.

Р( ) = )

Определим вероятность невозможного события Р( ):

D+ = D

*D =

Р(D+ ) = Р(D)+Р( ) = 1+Р( )

Р(D+ ) = Р(D) = 1

1+Р( ) = 1 => Р( ) = 0.

2. Классическое определение

а) пусть множество элементарных событий состоящих из N равновероятных событий:

Ω = {ω₁, ω₂, …, ω_n, …, ω_N}

согласно аксиомам (2) и (3) запишем:

Р(D) = Р(ω₁, ω₂, …, ω_n, …, ω_N) = Р(ω₁) + Р(ω₂) +…+ Р(ω_n) +…+ Р(ω_N) = 1,

т.к. все вероятности в данной сумме одинаковы, то

Р(ω_N) = , где n-любое 1≤n≤N

б) пусть совокупность элементарных событий, вызывающих события А, состоящих из М событий.

Ω_А = {ω₁^А, ω₂^А, …, ω_m^А, …, ω_M^А}

Согласно аксиоме (3):

Р(А)=Р(ω₁^А + ω₂^А +…+ ω_m^А +…+ ω_M^А)= Р(ω₁^А) + Р(ω₂^А) +…+ Р( ω_m^А) + …+Р( ω_M^А)=M/N

Вероятность Р(А) случайного события А равна отношению числа событий, благоприятствующих событию A(М) к общему числу равновозможных элементарных исходов (N).Необходимые для применения данного определения равновероятности исходов и их конечное значение не всегда имеют место.

Пример (1):

N = 6; M_A = 3;

P(A) =

М_В = 2

P(В) =

3. Статистическое определение

в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту, где N* - количество испытаний;

М* - количество испытаний, в которых произошло событие А.

P*(A) =

Для определения Р*(А), необходимо проведение экспериментов, а полученная вероятность является приближенным значением истины вероятности.

Пример: пусть на испытания взято 100 приборов N* = 100, 20 отказали. М* = 80

P*(A) = = 0,8

4. Геометрическое определение

Геометрической вероятностью события называется отношение меры области, благоприятствующие появлению события к мере всей области.

Р = ; Р = ; Р = ; Р = …

Пример: 2 студента встречаются в определенном месте между 19.00-20.00 часами. Пришедший первым ждет 15 мин. и уходит. Определить вероятность встречи студентов.