Поток событий.

Потоком событий называется последовательность событий, происходящих в случае моментов времени.

τ₁

τ₂

τ_n

▪

▪

▪

▪

▪

▪

t₁

0

t₂

t_n-1

t_n

t_n+1

τ_n ; τ_n = t_n - t_n-1

Большинство потоков событий обладают свойствами:

• Ординарности

• Стационарности

• Отсутствия последействия

События однородные , если они появляются по одиночке.

Поток стационарный.

Поток называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени.

▪

▪

▪

▪

t₁

0

t₂

t_n+1

τ₁

τ₂

P(t_n-1= t_n)=0

F(t_n / t₁, t₂, …, t_n-1)=F(t_n)

Поток, обладающий свойствами стационарности, ординарности, отсутствия последействия, называется простейшим потоком.

Рассмотрим простейший поток с дискретным временем.

t=I∙△t

▪

▪

▪

▪

▪

▪

1

0

2

i

…

t

△t

P

P

P

P

P

Простейший поток удовлетворяет всем условиям применения формулы Бернулли (испытания независимы, вероятности одинаковы, количество испытаний определено).

P_I(i)=C_Iⁱ ∙pⁱ ∙ (1-p)^I-i

M[X]=a= ∙t

Рассмотрим простой поток с непрерывным временем. Для этого I→ , при этом:

△t= =0

p= =0

Обозначим =2 .

С

aⁱ

учетом принятых обозначений формула Пуассона примет вид:

P

i!

(i)= ∙e^-u

M[X]= ∙t=2∙t=a

Т

2tⁱ

аким образом, в простом потоке количество событий за время t подчиняется распределению Пуассона.

P

i!

(i)= ∙e^-2t

Определим вероятность P(0) за время t, в течение которого не появляется ни одного события:

P(0)=e^-2t =P(T ), где Т – непрерывная случайная величина, характеризующаяся временем между последними событиями.

С учетом полученного можно записать:

F(t)=P{T<t}=1-P(T )=1-e^-2t - функция распределения

f(t)=F’(t)= 2e^-2t - экспоненциальное распределение

M[T]= λ=

M[X]=λt

λ характеризует интенсивность потока (чем больше λ, тем больше количество событий происходящих в единицу времени).

При достаточно малом значении t:

P(0) 1- λt

P(1)=1- P(0) λt

Элементы теории массового обслуживания.

СМО

N, M, K

N

Поток заявок

λ

λ - интенсивность потока заявок

1

λ

-среднее время между заявками

N – количество обслуживающих каналов

µ - интенсивность обслуживания заявок

К – наибольшая длина очереди

1

µ

-среднее время обслуживания заявок

Состояние СМО обозначим S_n .

В системе занято n каналов.

С n= , P(S_n)=P_n – вероятность каждого состояния.

В системе занято n каналов и S_N+K – находим в очереди обслуживания (K= , P(S_N+K) = P_N+K(t))

Изобразим график смены состояния СМО:

S₀

S₁

S₂

S_n-1

S_n

S_n+1

S_N-1

S_N

S_N+1

S_N+(K-1)

S_N+K

S_N∙K

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

µ

2µ

3µ

(n-1)µ

nµ

(n+1)µ

(n+2)µ

(N-1)µ

Nµ

Nµ

Nµ

Nµ

Nµ

P_n(t), n=

P_N+K(t), k=

Система будет находиться в состоянии покоя, если система находится в состоянии S₀ в момент времени t и за время △t ничего не произошло.

Таким образом, можно записать:

P(t+△t) P₀(t)∙(1-λ∙△t)+P₁(t)∙µ△t

[P(t+△t)- P₀(t)] / △t P₀(t)∙λ+ P₁(t)∙µ

d P₀(t) / dt = - P₀(t)∙λ+ P₁(t)∙µ

P₁= P₀∙

Определим вероятность P₂ :

P₁(t+△t) P₀(t)∙ λ∙△t+P₁(t)∙(1-λ△t)(1-µ△t)+ P₁∙λµ△t

P₁(t+△t)- P₁(t)

△t

P₀(t)∙ λ- P₀(t)∙ (λ+µ) + P₁(t)∙ λ∙µ△t+ P₂(t)∙λµ

dP₁(t)

dt

= P₀(t)∙ λ- P₀(t)∙ λ+ P₂(t)∙λµ

0= P₀∙ λ- P₀ (λ+µ)+ P₂∙λµ

P₂= P₀ ( )²

P₃= P₀ ( )³

P_n= P₀ ( )ⁿ n=

P_n(t+△t) P_n-1(t)∙ λ∙△t+P_n(t)∙(1-λ△t)(1-µ△t)(1-nµ△t)+P_n+1(t)∙(n+1)∙µ△t

P_n(t+△t)- P_n(t)

△t

P_n-1(t)∙ λ- P_n(t)∙ (λ+n∙µ) + P_n(t)∙ λ∙µ∙n∙△t+ P_n+1(t)∙(n+1)µ

dP_n(t)

dt

= P_n-1(t)∙ λ- P_n(t)∙ (λ+n∙µ )+P_n+1(t)∙(n+1)µ

0= P_n-1∙ λ- P_n(λ+n∙µ)+ P_n+1(t)∙(n+1)µ

0=P₀∙ ∙( )^n-1 - P₀∙ ∙( )ⁿ ∙( λ+n∙µ)+ P_n+1(t)∙(n+1)µ

P_n+1= P₀∙ ∙( )ⁿ⁺¹

Определим вероятность P_N+1 :

P_N(t+△t) P_N-1(t)∙ λ∙△t+P_N(t)∙(1-λ△t)(1-Nµ△t)+ P_N+1(t)∙Nµ△t

P_N(t+△t)- P_N(t)

△t

P_N-1(t)∙ λ- P_N(t)∙ (λ+Nµ) + P_N(t)∙ λN∙µ△t+ P_N+1(t)∙Nµ

dP_N(t)

dt

= P_N-1(t)∙ λ- P_N(t)∙ (λ+Nµ) + P_N+1(t)∙Nµ

0=P₀∙ ∙( )^N-1∙λ - P₀∙ ∙( )^N ∙( λ+N∙µ)+ P_N+1(t)∙Nµ

P_N+1= P₀∙ ∙( )^N+1 , n=

А

1

налогичным образом может быть получена вероятность P_N+k :

P

N∙N!^k

_N+k= P₀ ∙ ∙( )^N+k , k=

Вероятность P₀ находится из условия:

1

_n + _N+k =1

P

N∙N!^k

₀[ ( )ⁿ + ^N∙ ]=1

Зная вероятности всех состояний, можно найти различные характеристики выходного потока.

N_ср= _n∙n

K_ср= _N+k∙k

Задача оптимального обнаружения сигнала.

1. Известен сигнал, но не известно время.

2. Время известно, но не известен сигнал.

Рассмотрим случайный процесс – принимаемое колебание

R(t)=

S(t) – сигнал

- параметр обнаружения ( если =1, то сигнал присутствует, если =0, то отсутствует)

X(t) – шум

Сигнал наблюдается за время Т: t =[t₀; t₀+T]

По принятию реализации r(t) случайного процесса R(t) на отрезке Т требуется наилучшим образом выработать решение о наличии или отсутствии сигнала в реализации r(t).

Будем полагать, что X(t)- белый Гауссовский шум с параметрами:

M

N₀

[X(t)]=0

K

2

_X(t, t’)= δ( t -t’) – дельта функция

AЦП

△t

R(t)

(R₁, R₂, …, R_i, …, R_I)

r(t)

(r₁, r₂, …, r_i, …, r_I)

I

X(t)

=

t

r_i

r_i∙△t= (t)dt

r_i = (t)dt = dt = (t)dt +

dt= i + x_i , где

S_i= (t)dt , x_i= (t)dt

Получим характеристики случайной величины x_i :

x_i= (t)dt

M[x_i]=M[ (t)dt]=0

D[x_i]=D[ (t)dt]=

N₀

∙M[ (t)dt ∙ (‘t)dt’]= δ( t -t’)dt dt’=

=

2∙△t

Д

P(B_n)∙ P(A / B_n)

ля принятия решения о наличии или отсутствии сигнала:

P

P(A)

(B_n / A)=

P( )∙ P( / )

P

P( )

( / )=

P( )∙ P( / )

P

P( )

( / )=

P( =1/ )

^*=1

^*=0

1

P

P( =0/ )

( )=

P( =1)∙P( / 1)

P

P( =0)∙P( / )

( )= =

_________________________________________________________

Отступление:

P( =1)+ P( =0)=1

В случае неопределенности о наличии или отсутствии сигнала полагают:

P( =1)= P( =0)=

__________________________________________________

P( =1)

1

=

P( =0)

P( - 1)= P( ₁ =1)∙ P( ₂ =1)∙…∙ P( _i =1)∙…∙ P( _I =1)=

( _i =1)

P( = 1)= ( _i =1)=L( = 1)

Каждая величина в этой формуле распределена по нормальному закону (или по закону Гаусса «Белый шум»). Т.к. каждая из случайных величин _i , i=

представляет нормальное распределение, то функция правдоподобия:

L( = 1) ( _i -1)

1

2σ²

f

σ

(x-a)²

(x)= e ^-

_i=△i + x_i

M

N₀

2△t

N₀

2△t

[ _i]= △i D[ _i] = σ [ _i] =

I

1

- (r_i-S_i)²

L

N₀

2△t

2π

∙e

2N₀ /2△t

( = 1)=П_i=1

N₀

2△t

_i=x_i M[ _i]= 0 D[ _i] =

σ

N₀

2△t

[ _i] =

∙e

1

- r_i²

I

L

N₀

2△t

2π

2N₀ /2△t

( = 1)=П_i=1

1

- (r_i-△i)²

N₀

2π

e

- r_i²

I

l

N₀

2△t

2π

∙e

2N₀ /2△t

∙

2△t

2N₀ /2△t

∙

e

( = 1)=П_i=1

I

e

2N₀ /2△t

- (r_i-△i)²

- r_i²

+

П_i=1

I

e

1

(2r_i∙△i-△i²)

=

2N₀ /2△t

N₀ /△t

=

П_i=1 =

= e

N₀ /△t

1

2r_i∙△i-△i²)

Вводим логарифм:

1

2r_i∙△i-△i²)

^*

^*=0

1

l

N₀ /△t

( )= ln l( )=

Т

^*

^*=0

аким образом, можно записать:

2r_i∙△i-△i²)

1

_i∙△i

i² =h ; (*)

В соответствии с уравнением (*) может быть представлена схема оптимального обнаружителя:

x

ГОС

ПУ

1

2

3

4

r_i

(r₁, r₂, …, r_i, …, r_I)

r_i∙△i

_i∙△i

*={

1, ∑>h_i

0, ∑<h_i

△i

Временные диаграммы:

t

△(t)

1

t

1

-

-1

t

1

t

1

2

t

3

^*=0

4

3

t

▪3

^*=1

t

1

3

2

1

2

▪3

t

▪3

t

3

3

2

▪3

t

4

4

2

Фактическое состояние

=0

=1

Ошибка 2-го ( ) рода

Ошибка 1-го ( ) рода

^*=1

^*=0

Принимаемое решение

Принятое решение о наличии ошибки осуществляется в зависимости от возможного значения следующей случайной величины.

_i∙△i

h=

i²

Z=

1. =0

_i∙△i

_i∙△i

N₀

i²

Z

2△t

= M[Z]=0 D[Z]=[ ]=

f

N₀

2△t

2π

1

i²

e

- z²

2N₀ /2△t

i²

₀(Z)=

2. =1

△i _i+x_i)∙△i

i²

N₀

2△t

i²

Z = M[Z]= D[Z]=

- (z-

i²

)²

f

N₀

2△t

2π

1

i²

e

2N₀ /2△t

i²

₁(Z)=

K_X(τ)

f₀(Z)

f₁(Z)

2h

h

Вычислим ошибки 1-го и 2-го рода:

- (Z-2h)²

1

N₀ /△t ∙2h

N₀

△t

π∙2h

=

= ₁(Z)dz=

Z-2h

N₀

△t

h

=

N₀

△t

h

N₀

h

△t

0,5+ Ф[ ]=0,5 – Ф[ ]=0,5-Ф[ ]=

=

q

E

0,5 - Ф[ ]

i²

E=△t∙

N₀

q

2

=

- Z²

1

N₀ /△t ∙2h

N₀

△t

π∙2h

=

= ₀(Z)dz=

- Z²

N₀ /△t ∙2h

N₀

△t

π∙2h

1

=

0,5- Ф[

h△t

N₀

N₀

]=

=1-

=

q

E

0,5 – Ф [ ]

ξ

q

E

=0,5 – Ф [ ]

ξ

0,5

E/q