Отсюда следует, что спектральная плотность описывает распределение дисперсии сф по частотам.

При необходимости нахождения дисперсии в диапазоне частот используется следующее соотношение:

d_X (f₁, f₂)= df

)

f

f₁

f₂

У СФ и амплитуда, и фаза будут случайными.

К характеристикам СФ X (t) относятся также:

1. Интервал корреляции.

1

∙ dτ

τ

K_X(τ)

△

K_X(0)

K_X(0)

τ_x=

△τ_x

2. Эффективная ширина спектральной плотности.

1

∙ df

f

S_X(0)

S_X(τ)

△

S_X(0)

f_x=

△f_x

М

1

∙ dτ

1

∙ df =1

ежду интервалом корреляции △τ_x и эффективной шириной спектральной плотности △f_x существует следующая зависимость:

△

K_X(0)

S_X(0)

τ_x·△f_x = ·

Это соотношение неопределённости. Оно показывает, что чем уже ширина спектра, тем больше интервал корреляции, и наоборот.

Чем шире спектр, тем сложнее функция, следовательно, имеется меньше времени предсказания поведения функции.

Для моделирования случайных процессов, имеющих постоянную спектральную плотность в определённом диапазоне частот, используется СФ, называемая стационарным белым шумом.

Стационарный белый шум – стационарная СФ, спектральная плотность которой постоянна.

= ∙e^2jπfτ df = = ·δ(τ)

d_X= K_X(0)=

Δf=

Δτ_k=0

Определение характеристик сф из опыта.

Пусть над СФ X(t) произведено N независимых опытов (испытаний) и получено N реализаций СФ.

X(t)

x₁(t)

x_n(t)

x₂(t)

.

.

.

- реализация

t

t'

x_N(t)

.

.

t₁

t₂

………

Требуется найти оценки характеристик СФ: m_X(t), K_X(t, t’).

Для вычисления оценок используются зарегистрированные значения СФ в моменты времени t₁, t₂,…, t_m, t_M .

Каждый столбец матрицы представляет результат N наблюдений над сечением СФ в один из N моментов времени, т.е. над соответствующей СВ.

Используя известные соотношения по обработке выборки СВ, получаем:

m_x(t_m)= _n(t_m)

m=

x₁(t₂)

t₁ t₂ … t_m … t_M

x₁(t)

x₂(t)

x₁(t₁)

… …

... … … …

x_n(t)

... … … …

x_N(t)

... … … …

Оценка корреляционной функции:

K_x(t, t’)= _n(t)- m_X(t)]∙[ x_n(t’)- m_X(t’)]

d_x(t)= _n(t)- m_X(t)]²

Цепь Маркова.

n=0 n=1 n=2 … n-1 … n … N

A₁

A ₂

A _k

A_K

Цепью Маркова называется последовательность испытаний, в каждом из которых появляется только К несовместных событий:

А₁, А₂, …, А_к, …, А_К, образующих полную группу:

P(А_к∙ А_к’)=0 k=k’ – свойство идемпотентности.

(A_k)=1

Условная вероятность того, что в n испытании наступит событие А_к⁽ⁿ⁾, при условии, что в предыдущих испытаниях произошли события

А_к⁽¹⁾, А_к⁽²⁾, …, А_к^(n-1), зависит только от результатов (n-1)-го испытания.

P(А_к⁽ⁿ⁾⁄ А_к⁽¹⁾, А_к⁽²⁾, …, А_к^(n-1))=P(А_к⁽ⁿ⁾⁄ А_к^(n-1))

Однородной называется цепь Маркова при условии независимости вероятностей P(А_к⁽ⁿ⁾⁄ А_к^(n-1)) от номера испытания:

P(А_к⁽ⁿ⁾⁄ А_к^(n-1))=P_{k, k’}⁽¹⁾

k

Номера состояний предыдущего и последующего соответственно.

=k^(n-1)

k’=k⁽ⁿ⁾

P_{k, k’}⁽¹⁾, k= , k’=

Матрица перехода – матрица всех вероятностей перехода из первого состояния в другое.

1 2 … k’ … K

1 P_{1, 1}⁽¹⁾ P_{1, 2}⁽²⁾

2

P⁽¹⁾ =

K P_{k, k’}⁽¹⁾

K P_{K, K’}⁽¹⁾

_k,k⁽¹⁾=1, k=

Это свойство вытекает из полноты группы событий А_к.

Определим вероятность P_{k, k’}⁽¹⁾.

Д

1

2

k_пр

K

k

k’

m

(n-m)

ля этого введем промежуточное состояние k_пр и предположим, что за m шагов система пришла в k_пр, а за оставшиеся (n-m)- в k’

Согласно формуле полной вероятности: [ P(A)= (B_n)∙P(A/B_n) ] получим:

P_{k, k’}⁽ⁿ⁾= _k,kпр^(m)∙P _kпр,k’^(n-m) – уравнение Маркова

Зная матрицу перехода за один шаг, можно найти матрицу перехода за два шага:

n=2, m=1;

P_{k, k’}⁽²⁾= _k,kпр⁽¹⁾∙P _kпр,k’⁽¹⁾

k= , k’=

P^{(2 )}= P⁽¹⁾∙ P⁽¹⁾=[ P^{(1 )}]²

P⁽³⁾=[ P^{(1 )}]³