Определение характеристик случайной функции после преобразования.

A

X (t) Y(t)

m_X(t) m_Y(t)

K_X(t, t’) K_Y(t, t’)

(t)=A{X(t)}

A-преобразователь

X(t)-входная функция

(t)-реакция А на X(t)

На вход преобразователя А действует постоянное входное воздействие X(t), после преобразования на выходе появляется реакция (t)=A{X(t)}.

Линейные преобразования - преобразования, обладающие следующими свойствами:

1. A{X₁(t)+ X₂(t)}= A{X₁(t)}+ {X₂(t)};

2. A{C·X(t)}= C·A{X(t)}.

Преобразования:

1. Масштабирование.

Y(t)=C·X(t);

m_Y(t)=M[Y(t)]=M[C·X(t)]=C· M[X(t)]=C· m_X(t)

K_Y(t, t’)=µ_Y(t)Y(t’)=C²·K_X(t, t’)

d_Y(t)= K_Y(t, t)= C²·K_X(t, t’)= C²·d_X(t’)

2. Дифференцирование.

Y(t)= ;

m_Y(t)=M[Y(t)]=M[ ]= = M[X(t)]= m_X(t)

K_Y(t, t’)= M[Y(t)· Y(t’)]=

_________________________________________________________

Отступление:

Y(t)= Y(t)- m_Y(t)= - m_X(t) = [X(t)-m_X(t)] =

Y(t’)=

_________________________________________________________

=M[ ]=M[∂² X(t)· X(t’)/ ∂t·∂t’]=∂² M [X(t)· X(t’) ]/ ∂t·∂t’=

=∂² K_X(t, t’) /∂t·∂t’

Корреляционная функция от производной случайной функции равна второй производной от ее корреляционной функции, взятая по обоим из аргументов.

d_Y(t)= K_Y(t, t)

3. Интегрирование.

Y(t)= ;

m_Y(t)=M[ ]= = _X

K_Y(t, t’)= M[Y(t)· Y(t’)]=

_________________________________________________________

Отступление:

Y(t)= Y(t)- m_Y(t)= - _X =

Y(t’)=

_________________________________________________________

=M[ ]= M[ ]=

= [ ] = K_X( , )

Корреляционная функция интегрируема и равна 2-ому интегралу от корреляционной функции, взятой по каждому из аргументов.

d_Y(t)= K_Y(t, t)

4. Рассмотрим задачу преобразования СФ, которое описывается дифференциальным уравнением вида:

a^(N)·Y^(N)(t)+ a^(N-1)·Y^(N-1)(t)+ a⁽ⁿ⁾·Y⁽ⁿ⁾(t)+…+ a⁽¹⁾·Y (t) ⁽¹⁾+ a⁽⁰⁾·Y (t)=

= b^(M)·X^(M)(t)+ b^(M-1)·X^(M-1)(t)+ b^(m)·X^(m)(t)+…+ b⁽¹⁾·X (t) ⁽¹⁾+ b⁽⁰⁾·X (t)

a

- постоянные коэффициенты

⁽ⁿ⁾, n=

b^(m), m=

Если на вход системы поступает гармоническое колебание e ^jωt, то на входе также будет гармоническое колебание вида: K(jω)∙ e ^jωt.

Подставим входное воздействие и выходную реакцию в рассмариваемое дифференциальное уравнение:

a^(N)· (jω)^N∙ K(jω)∙ e ^jωt+ a^(N-1)· (jω)^N-1∙ K(jω)∙ e ^jωt+ a⁽ⁿ⁾· (jω)ⁿ∙ K(jω)∙ e ^jωt+…

…+ a⁽¹⁾· (jω)∙ K(jω)∙ e ^jωt+ a⁽⁰⁾· K(jω)∙ e ^jωt=

= b^(M)· (jω)^M∙ K(jω)∙ e ^jωt+ b^(M-1)· (jω)^M-1∙ K(jω)∙ e ^jωt+ b^(m)· (jω)^m∙ K(jω)∙ e^jωt+…

…+ b⁽¹⁾· (jω)∙ K(jω)∙ e ^jωt+ b⁽⁰⁾· K(jω)∙ e ^jωt

b^(M)· (jω)^M + b^(M-1)· (jω)^M-1 + b^(m)· (jω)^m +…+ b⁽¹⁾· (jω)+ b⁽⁰⁾

…+ b⁽¹⁾· (jω)∙ K(jω)∙ e ^jωt+ b⁽⁰⁾· K(jω)∙ e ^jωt

=

…+ b⁽¹⁾· (jω)∙ K(jω)∙ e ^jωt+ b⁽⁰⁾· K(jω)∙ e ^jωt

K

a^(N)· (jω)^N + a^(N-1)· (jω)^N-1 + a⁽ⁿ⁾· (jω)ⁿ +…+ a⁽¹⁾· (jω)+ a⁽⁰⁾

…+ b⁽¹⁾· (jω)∙ K(jω)∙ e ^jωt+ b⁽⁰⁾· K(jω)∙ e ^jωt

(jω)=

^(m)· (jω)^m

=

⁽ⁿ⁾· (jω)ⁿ

a⁽⁰⁾∙ m_Y(t)= b⁽⁰⁾∙ m_X(t)

m

b⁽⁰⁾∙ m_X(t)

a⁽⁰⁾

…+ b⁽¹⁾· (jω)∙ K(jω)∙ e ^jωt+ b⁽⁰⁾· K(jω)∙ e ^jωt

= m_Y

…+ b⁽¹⁾· (jω)∙ K(jω)∙ e ^jωt+ b⁽⁰⁾· K(jω)∙ e ^jωt

Все производные, кроме первой, будут равняться нулю.

Спектральная плотность-это дисперсия.

_Y(t)=

Стационарная СФ – это СФ X (t), МО которой постоянно при всех значениях аргумента, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов.

m_X(t)= m_X

K_X(t, t’)= K_X(t- t’)= K_X(τ) τ= t- t’ – разность аргументов

d_X(t)= K_X(t, t)= K_X(0)= d_X – дисперсия тоже не зависит от времени

Согласно 1-ому свойству корреляционной функции:

K_X(t, t’)= K_X(t- t’), получаем K_X(τ)= K_X(-τ) - корреляционная ф-я является четной

Согласно 4-ому свойству K_X() достигает наибольшего значения при τ=0 и это значение равно d_X .

K_X(τ)

d_X

τ

Спектральная плотность.

По аналогии со спектральным анализом детерминированных сигналов может быть осуществлен спектральный анализ случайной функции.

Д.С.В. Н.С.В.

f

f

d₁

d₂

d₃

f₁

f₂

f₃

………

f

f

f₁

f₂

f₃

G(f)

G(f)

………

G

f

f+

Спектральной плотностью стационарной СФ X(t) называется функция S_x(f), которая связана с корреляционной функцией K_X(τ) взаимообратными преобразованиями Фурье:

S_x(f)= ∙e ^–2jπfτdτ

= ∙e^2jπfτdf

Докажем обратность данных преобразований:

∙e ^{–2jπfτ’}dτ]∙ e^2jπfτ df = [ e ^{–2jπf(τ’-τ)}df ] dτ’=

= δ(τ’-τ) dτ’=

Учитывая, что K_X(0)= d_X , можно записать:

d_X= df

d_X ∙△f_i