Математическое ожидание
Математическое ожидание дискретной случайной переменной Х определяется как:
,
то есть математическое ожидание случайной
дискретной величины определяется как
сумма произведений всех возможных
значений величины Х (хi)
на соответствующие вероятности.
Существует теорема, которая утверждает, что математическое ожидание дискретной случайной величины приближенно равно среднему арифметическому всех ее значений, при достаточно большом количестве испытаний n.
Математическое ожидание есть некоторая средневзвешенная арифметическая величина, где весами являются вероятности. Следовательно, математическое ожидание характеризует меру положения случайной переменной. Для непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения f(х) математическое ожидание это несобственный интеграл:
Математическое ожидание имеет следующие свойства (X и Y — произвольные случайные величины, a и b — константы):
,
если Х и У являются независимыми
случайными величинами.
если
при всех реализациях, то
Отметим, что случайные величины называются независимыми. Если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.
Примеры:
1. Найдем математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной табличным законом распределения:
-
Х
х1=2
х2=4
х3=6
х4=8
Р(Х)
0,1
0,2
0,3
0,4
М(Х)=2*0,1+4*0,2+6*0,3+8*0,4=6.
2. Найдем математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, заданной плотностью распределения:
.
Дисперсия случайной переменной
Дисперсия отражает степень «разброса» случайной величины относительно среднего значения. Для дискретной случайной она рассчитывается по формуле:
Дисперсия непрерывной случайной переменной:
Дисперсия случайной переменной имеет следующие свойства (X и Y — произвольные случайные величины, a и b — константы):
,для
независимых случайных переменных.
Существуют более удобные формулы вычисления дисперсии, основанные на том, что она равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания:
для дискретной случайной величины:
.
для непрерывной случайной величины:
.
Для случайной величины
Х средним квадратическим отклонением
σ(Х) называется квадратный корень
из дисперсии этой случайной величины:
.
Если непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону, то параметры распределения а и σ соответственно являются математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением этой случайной величины.
Многомерное и условное распределение вероятностей.
Важным понятием,
используемым в эконометрике, является
многомерное распределение. Для
простоты рассмотрим двумерный случай,
когда событие приобретает второе
измерение и связывается уже с двумя
случайными переменными. Плотность
вероятности двумерной случайной
переменной характеризуется функцией
от двух переменных
.
Распределение вероятностей определяется
по формуле:
Две случайные переменные
и
называются статистически независимыми,
если справедливо соотношение
.
Теоретико-вероятностной основой для регрессионной модели служит понятие условного распределения случайной переменной. Понятие условного распределения возникает в задачах, в которых требуется выяснить распределение одной переменной при фиксированных значениях другой.
Например, нас интересует распределение урожайности в каком-то хозяйстве. В одном случае мы знаем уровень внесения минеральных удобрений под будущий урожай, в другом случае — нет. Вполне понятно, что распределение вероятностей для урожайности в двух этих случаях разные. И говоря об условном распределение мы имеем в виду случай, когда уровень внесения минеральных удобрений известен.
Распределение, которое характеризует плотность вероятностей разных значений , при условии, что известно и принимает фиксированные значения, называется условным распределением.
Функция условной плотности определяется как отношение двух плотностей :
,
Аналогично
,
В ходе последующего изложения мы будем широко пользоваться понятием «условное математическое ожидание»: ожидаемое значение некоторой случайной переменной при заданном значении других случайных переменных.
Математическое
ожидание
,
при заданном значении
обозначается символом
и определяется по формуле:
