3. Кинетостатика плоского рычажного механизма

II класса

3.1. Методика определения сил в кинематических парах

Кинетостатический или силовой расчет механизмов основан на использовании принципа Даламбера: если в каждый момент времени к активным силам, действующим на звенья работающего механизма, и силам реакций связей добавить силы инерции звеньев, то к полученной системе сил, находящейся в равновесии, можно применить уравнения равновесия статики. Используя эти уравнения равновесия можно рассчитывать реакции, возникающие, например, в шарнирах кинематических пар.

Последовательность силового расчета механизма следующая:

1. механизм разбивают на группы Ассура и рассматривают равновесие каждой группы, так как добавление сил и моментов сил инерции делает статически определимой систему действующих активных сил и возникающих реакций в этой группе;

2. составляют уравнения равновесия плоской системы сил для всей группы Ассура или для отдельных ее звеньев в виде

, , (3.1)

где – векторы сил, действующих на группу; – моменты сил относительно некоторой выбранной точки;

3. решают первое уравнение (3.1) графически – путем построения плана сил, а второе – аналитически.

Запись принимают как силу реакции, действующую со стороны звена “i ” на звено “j ”, а – принимают как реакцию, действующую со стороны звена “j ” на звено “i ”. Очевидно, что по третьему закону Ньютона.

3.2. Кинетостатический расчет механизма без учета сил трения

Расчет начинают с группы, наиболее удаленной от начального звена. Используется графоаналитический метод силового расчета, так как он может быть применим для статически определимых плоских систем сил, нагружающих группы Ассура.

Исходные данные для расчета: длины звеньев , , (м), массы звеньев , , , (кг), активные силы, действующие на ползуны , (Н).

Механизм (рис. 1.1) разбивают на группы Ассура, которые представляют собой диады 5-4, 2-3 и начальный механизм 0-1 первого класса. Изображают диаду 5-4 в масштабе (рис. 3.1) и обозначают активные, реактивные силы, силы инерции и моменты сил инерции, действующих на звенья диады.

Рис. 3.1. Плоская система сил, действующих на диаду 5-4

На рис. 3.1: – активная сила; , – силы инерции; – реакция со стороны звена 2 на звено 4; , – нормальная и касательная (тангенциальная) составляющие реакции ; – момент сил инерции, действующих на звено 4; – реакция со стороны стойки.

Используя планы скоростей и ускорений, определяют силы инерции и моменты сил инерции. Вектор силы инерции для звена 5, совершающего поступательное движение, направлен противоположно вектору ускорения точки D звена 5. Запишем

.

Величина силы , (Н):

,

где – масса звена 5, кг; – величина ускорения точки D, вычисляемая с использованием плана ускорений, .

Так как звено 4 совершает плоское движение, то инерционные нагрузки, действующие на него, приводятся к силе инерции и моменту сил инерции , величины которых определяются по следующим формулам

(Н);

(Нм),

где – масса звена 4, кг; – величина ускорения точки S, расположенной посередине звена 4, ; – угловое ускорение звена 4, принимаемое из расчетов плана ускорений, ; – центральный момент инерции звена 4, :

.

Ускорение точки S определяют следующим образом: на плане ускорений соединяем точки “с”, “d ” и делим этот отрезок на две равные части, так как точки S делит звено CD пополам. Отрезок является изображением вектора в масштабе.

.

Вектор направляем в противоположную сторону вектора . Момент сил инерции направлен против ускорения .

Силами тяжести звеньев пренебрегают, считая их малыми по сравнению с другими силами.

Для выделенной группы применяют методы статики, которые позволяют определить неизвестные реакции.

Пользуются уравнениями равновесия в виде суммы моментов сил относительно точки D, что позволяет определить составляющую , Н:

; ,

где h – плечо силы . Натуральную величину плеча h, м, определяют с использованием кинематической схемы механизма, изображенной в масштабе :

,

где – масштабный коэффициент, используемый для построения кинематической схемы механизма, :

.

Если после вычисления , то действительное направление вектора противоположно указанному на чертеже. В этом случае изменяют направление вектора на противоположное и принимают

Для рассматриваемой диады записывают векторное уравнение сил

; .

В этом уравнении реакции и необходимо определить. Они неизвестны по величине, но известны по направлению. Их значения можно определить, решая уравнение графически – построением плана сил.

Построение плана сил выполняется следующим образом. Из произвольной точки “a” откладывают выбранный отрезок, который в масштабе изображает вектор силы . Отрезок проводят параллельно направлению вектора силы . Вычисляют масштабный коэффициент , :

,

где – отрезок из точки “a” в мм.

Затем из конца вектора в том же масштабе откладывают вектор следующей силы вышеприведенного уравнения сил. Далее продолжают построение с использованием векторов , . Через начало вектора и конец вектора проводим линии по направлениям векторов сил и соответственно до их пересечения. Полученный многоугольник является планом сил диады 5-4 (рис. 3.2), на котором обозначены векторы искомых сил и . Направления найденных сил должны быть согласованы с общим направлением векторов сил плана так, чтобы их векторная сумма равнялась нулю. Суммируя векторы и , получим реакцию . Величины реакций (Н) можно определить из выражений

(Н); ,

где , – соответствующие отрезки из плана сил, мм.

Рис. 3.2. План сил диады 5-4

Определяют реакцию звена 4 на звено 5, т. е. . Векторное уравнение равновесия для сил звена 5 (рис. 3.3) имеет вид

; .

Рис. 3.3. Плоская система сил, действующих на звено 5

В приведенном уравнении вектор неизвестен по величине и направлению. Его можно найти, замыкая векторный многоугольник, стороны которого образованы векторами , , и искомым вектором . Построение выполняют на плане сил (рис. 3.2).

Величина силы , (Н):

,

где – отрезок из плана сил, мм.

Рассмотрим силовой расчет диады 2-3. Изображаем диаду и плоскую систему сил, ее нагружающую (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Плоская система сил, действующих на диаду 2-3

Силы и моменты, нагружающие диаду 2-3: – активная сила; , – силы инерции; , – реакции в шарнирах A и C соответственно; , – нормальная и касательная составляющие реакции ; – момент сил инерции, действующих на звено 2.

Силы инерции , приложены в точках C, B соответственно и направлены противоположно векторам , из плана ускорений соответственно, т. е. векторам и . Момент направлен против ускорения . Вектор силы направлен в противоположную сторону вектора , который изображен на плане сил (рис. 3.2).

Значения сил инерции , и момента сил инерции определяют по следующим формулам:

(Н);

(Н);

(Нм),

где , – заданные массы звеньев 2 и 3 соответственно, кг; , – длины отрезков с плана ускорений, мм; – угловое ускорение звена 2, , принимаемое из расчетов планов ускорений; – центральный момент инерции звена 2, ,

.

Неизвестную силу определяют из уравнений равновесия в виде моментов сил относительно точки B:

; ,

,

где и – плечи сил и соответственно, м. Натуральную величину и определяют с использованием диады 2-3, начерченной в масштабе (рис. 3.4):

; .

Если после вычисления , то действительное направление вектора противоположно указанному на рис. 3.4.

Для определения неизвестных сил , решают графическим путем второе векторное уравнение равновесия сил, для чего строят план сил диады 2-3:

; .

Из произвольной точки “a” параллельно вектору силы и в том же направлении откладывают отрезок, который в масштабе изображает величину силы . Далее из конца вектора (точка “b”)в том же масштабе откладывают отрезок , параллельный вектору силы . Величины отрезков и определяют по следующим формулам:

; .

Из конца вектора проводят отрезок , параллельный вектору силы , из конца которого в свою очередь отрезок , параллельный вектору силы , и далее из конца вектора проводят отрезок параллельно вектору силы . Векторы сил и известны только по направлению, чем пользуются для нахождения их величин следующим образом. Из конца вектора проводят прямую, параллельную направлению вектора , а из начала вектора (точка “a”) прямую, параллельную вектору . Точка пересечения двух последних прямых определит положение конца вектора и начало вектора . На рис. 3.5, а изображен план сил диады 2-3.

а)	б)

Рис. 3.5. План сил диады 2-3 (а) и силы, действующие на ползун (б)

Отрезки , , соответствующих сил на плане сил определяют аналогично отрезкам и . Величины искомых сил и определяют по формулам

, ,

где , – длины отрезков из плана сил, мм.

Реакцию шатуна 2 на ползун 3 (рис. 3.5, б) определяют, решая графическим способом следующее уравнение сил:

; .

На рис. 3.5, б направление вектора силы соответствует его направлению на плане сил (рис. 3.5, а).

Величину реакции определяют по формуле

,

где – длина отрезка на плана сил, мм.

Рассмотрим силовой расчет начального звена 1. На это звено (рис. 3.6, а) действует реакция со стороны звена 2 и реакция со стороны стойки. Действие силы инерции на звено 1 не учитываем, так как звено 1 уравновешено и центр масс находится в точке О. Момент сил инерции , так как звено 1 совершает равномерное вращение ( ) и . В точке A перпендикулярно к звену прикладывают уравновешивающую силу , которая обеспечивает заданный закон движения начального звена механизма.

а)	б)

Рис. 3.6. Силы, действующие на начальное звено 1 (а) и план сил для него (б)

Плоская система сил (рис. 3.6, а) находится в равновесии, и для определения величины уравновешивающей силы достаточно составить уравнение равновесия в виде моментов сил относительно точки O:

; ,

откуда (Н),

где – натуральная длина плеча силы , м; – длина звена 1, м.

Реакцию определяют из плана сил (рис. 3.6, б) путем графического решения векторного уравнения

; .

План сил звена 1 строят аналогично вышеприведенным планам сил диад 5-4 и 3-2.

Величину реакции определяют по формуле

,

где – отрезок, изображающий на плане сил (рис. 3.6, б) вектор силы , мм.