1.1 Идея дисперсионного анализа

Для оценки влияния каждого фактора на выходной параметр u сравнить влияние каждого факторов, установим некоторый показатель этого влияния.

Пусть в отсутствие ошибок опыта (d² = 0) при варьировании фактора Х на разных уровнях получены истинные значения y_1,......., y_j ,...., y_u, выходного параметра. Тогда в качестве показателя влияния фактора Х примем величину, называемую дисперсией фактора Х, то есть:

, (1.1)

где

Изучать влияние факторов по их дисперсиям удобно, так как это простейшая мера рассеивания.

Определение. Исследование факторов по их дисперсиям называется дисперсионным анализом

Рассмотрим идею дисперсионного анализа на примере изучения влияния одного фактора на фоне случайных погрешностей, когда дисперсия воспроизводимости известна (d₀²).

При варьировании фактора Х на U уровнях, в результате наблюдений, получим y_1, y₂,...., y_u, рассеивание которых можно характеризовать выборочной дисперсией:

. (1.2)

Когда дисперсия воспроизводимости d₀² неизвестна, схема дисперсионного анализа должна позволить найти её оценку наряду с оценками дисперсий изучаемых факторов. Для этой цели необходимо планировать проведение серий дублирующих опытов при каждом из всех возможных сочетаний уровней изучаемых факторов.

Если отличие d² от d₀² (дисперсия воспроизводимости) незначимо, то разброс наблюдений, который она характеризует, связан только со случайными причинами и влияние фактора незначимо. Если же отличиеd² от d₀² значимо, то повышенный разброс наблюдений вызывается не только случайными причинами, но ещё и влиянием фактора Х, которое теперь нужно признать значимым.

Поскольку в последнем случае складывается влияние двух независимых факторов - случайных причин (с дисперсией d₀²) и фактора Х (с дисперсией d_X²), что приводит к общему рассеиванию наблюдений, то общая дисперсия будет суммой (d₀² + d_X²), а её оценка откуда дисперсия фактора определяется выражением:

. (1.3)

Основная идея дисперсионного анализа заключается в разложении общей дисперсии на составляющие, зависящие от случайных причин, от каждого из рассматриваемых факторов и их взаимодействий в отдельности, а также в оценке статистической значимости дисперсий последних с учётом ошибки воспроизводимости опыта.

Отметим, что техника проведения дисперсионного анализа довольно разнообразна.

1.2 Однофакторный анализ

Изучается влияние только одного фактора Х.

Представим результаты эксперимента таблицей 1.1 (u x m) наблюдений y_jl,

где j - порядковый номер уровня варьирования фактора;

l - порядковый номер дублирующего опыта в серии на каждом j - ом уровне , , рассмотрим случай, когда m₁= m₂=....=m.

Рассеивание между столбцами будет определяться ошибкой воспризводимости, рассеивание между строками - дополнительным действием изучаемого фактора.

Таблица 1.1 - Результаты эксперимента

j уровня фактора Х	№ l дублирующего опыта
	1 2 l .............. m
1 2 . j . u	y11 y12. L y1m y21 y22............y2l....... ....y2m yj1 yj2...... .......yjl... ........yjm yu1 yu2........ ....yul........ ....yum

где

Рассеивание отдельных наблюдений относительно общего среднего обусловлено действием случайных причин и влиянием фактора Х. Действие фактора случайности проявляется (с дисперсией d²) в рассеивании наблюдений серий дублирующих опытов на каждом уровне Х вокруг среднего арифметического своей серии.

Влияние же фактора Х (с дисперсией d_x²) вызывает повышенное рассеивание средних серий относительно общего среднего.