3.4. Дифференциалы высших порядков

Обратимся теперь к дифференциалам высших порядков; они также определяются индуктивно. Дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом функции у = f(x) в некоторой точке, называется дифференциал в этой точке от ее (первого) дифференциала; в обозначениях:

Дифференциалом третьего порядка или третьим дифференциалом, называется дифференциал от второго дифференциала

Вообще дифференциалом n-го порядка или n-м дифференциалом функции у = f(x) называется дифференциал от ее (n – 1)-го дифференциала:

_{Если пользоваться функциональным обозначением, то последовательные дифференциалы могут быть обзначены так:}

_{причем получается возможность указать то частное значение х = х0, при котором дифференциалы берутся.}

_{При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно помнить, что dx есть произвольное и независящее от х число, которое при дифференцировании по х надлежит рассматривать как постоянный множитель. В таком случае будем иметь (все время предполагая существование соответствующих производных):}

_d ²_{y = d(dy) = d (y´dx) = dy´·dx = (y}⁽²⁾_{dx)·dx = y}⁽²⁾_·dx²_,

_d ³_{y = d(d} ²_{y) = d (y}⁽²⁾ _dx²_{) = dy}²_·dx² _{= (y}⁽³⁾_dx)·dx² _{= y}⁽³⁾_·dx³

_{и т.д.. Для дифференциала n-го порядка d}ⁿ_{y методом индукции элементарно устанавливается формула}

_dⁿ_{y = y}⁽ⁿ⁾_·dxⁿ _{или d}ⁿ_{f(х0) = f}⁽ⁿ⁾_(х0)·dxⁿ_{. (3.27)}

_{Из формулы (3.27) вытекает, что}

_{, (3.28)}

_{так что этот символ можно рассматривать как дробь. Здесь под dx}ⁿ _{подразумевают произведение n дифференциалов dx. Например, dx}³ _{= dx·dx·dx.}

_{Очень важно отметить, что при n > 1 формулы (3.27) и (3.28) справедливы, вообще говоря, лишь тогда, когда x является независимой переменной (т.е. второй и последующий дифференциалы не обладают, вообще говоря, свойством инвариантности).}

_{Чтобы убедиться в этом, рассмотрим вопрос о вычислении второго дифференциала (дважды дифференцируемой) функции y = f(x) в предположении, что переменная х является дважды дифференцируемой функцией некоторого аргумента t. Используя инвариантность формы первого дифференциала и формулу d(u·v) = v du + u dv, получим:}

_.

_{Дифференциал df ′(x) можно снова, пользуясь инвариантностью формы (первого) дифференциала, взять в форме: df ′(x) = f} ⁽²⁾_{(x) dx, так что окончательно}

_d ² _{y = f} ⁽²⁾ _{(x) dx}² _{+ f ′ (x) d} ²_{х, (3.29)}

_{в то время как при независимой переменной х второй дифференциал имел вид d} ² _{y = f} ⁽²⁾ _{(x) dx}²_{. Конечно, выражение (3.29) для d} ²_{y является более общим: если, в частности, х есть независимая переменная, то d} ²_{х = 0 – и остается один лишь первый член. В соответствии с этим в выражениях (3.28) высших производных y}⁽ⁿ⁾ _{(n  2) через дифференциалы уже нельзя дифференциалы брать по любой переменной (как при n = 1), но лишь по переменной х.}

3.5. Параметрическое дифференцирование

_{Можно, впрочем, написать выражения производных по х и через дифференциалы, взятые по любой переменной t. Имменно, считая все ниже написанные дифференциалы взятыми по t, имеем последовательно:}

_,

_{т.е. ; (3.30)}

_затем

_(3.31)

_{и т.д. Формулы (3.30) и (3.31) являются наиболее общими; если в них считать х независимой переменной, то d} ²_{х, d} ³_{х и т.д. обратятся в нуль, – и мы вернемся к формулам (3.28).}

_{Полученные нами формулы (3.30) и (3.31) для производных у по х осуществляют так называемое параметрическое дифференцирование. Если х и у заданы в функции от параметра t: x = (t), y = (t), то, как мы видели в гл., §2, п.2.5, при известных условиях этим определяется и у как функция от х: у = f(х). При наличии последовательных производных от х и у по t существуют соответствующие производные от у по х и выражаются выведенными выше формулами.}

_{Иногда удобнее иметь выражения производных у по х через производные же (а не дифференциалы) от х и у по t. Их легко получить из дифференциальных выражений, разделив числитель и знаменатель соответственно на dt, dt}³_{, dt}⁵_{,…. Таким путем придем к формулам:}

_{, ;}

_{аналогично: и т.д.}