1.12. Таблица основных формул для производных
Составим таблицу всех выведенных нами формул:
1. у = с = const, = 0;
2. у = х, = 1;
3.
(
);
4.
(
);
5.
(
);
6.
;
7. y = cos x; = – sin x;
8.
y
= tg x,
;
9.
,
;
10.
;
11.
;
12.
;
13.
.
Из приведенной таблицы следует, что производная любой элементарной функции представляет собой также элементарную функцию. Таким образом, операция дифференцирования не выводит нас из класса элементарных функций.
§2. Дифференциал числовой функции одного действительного переменного
2.1. Определение дифференциала и его геометрический смысл
Как уже было сказано (§1, п.1.5), если функция в некоторой точке х = х0 имеет конечную производную , то приращение функции в этой точке может быть представлено в виде
,
где
.
Справедливо и обратное утверждение: если приращение функции в некоторой точке х = х0 может быть представлено в виде
,
то
функция в этой точке имеет производную
и
= A.
Определение 1. Если приращение функции в точке х может быть представлено в виде
, (3.12)
где
,
то функция называется дифференцируемой
в этой точке.
Легко установить теперь справедливость следующей теоремы.
Теорема.
Для того, чтобы функция
была дифференцируема в некоторой точке
х,
необходимо и достаточно, чтобы в этой
точке существовала конечная производная
y'
=
.
При выполнении этого условия равенство
(3.12) имеет место при значении постоянной
А,
равном именно
этой производной:
(3.13)
Из этой теоремы следует, что выражения «функция дифференцируема в точке» и «функция имеет производную в точке» эквивалентны.
При
наличие равенства (3.13) показывает, что
произведение
есть бесконечно малая величина первого
порядка малости относительно
,
и, значит, служит для
ее главной
частью.
Произведение
всегда
бесконечно малая величина высшего
порядка относительно
,
так как
Определение
2. Главная
часть
приращения функции
f(x)
при фиксированном х
называется дифференциалом
функции
f(x)
и обозначается символом dy
или df
(x),
dy = . (3.14)
Чтобы
истолковать геометрически дифференциал
dy
и его связь с приращением
функции у =
f(x),
рассмотрим график этой функции (рис.17).
Рис. 17
Значением
х
аргумента и у
= f(x)
функции определится точка М(х,
f(x))
на кривой.
Проведем в этой точке кривой касательную;
как мы уже видели (рис.14), ее угловой
коэффициент
равен производной
(x).
Если абсциссе х
придать приращение
,
то ордината кривой f(x)
получит приращение
= NM1.
В то же время ордината касательной
получит приращение NK.
Вычисляя NK
как катет прямоугольного треугольника
МNK,
найдем:
Таким образом, дифференциал функции f(x), соответствующий данным значениям х и , равен приращению ординаты касательной к кривой у = f(x) в данной точке х. В то же время есть приращение ординаты кривой.
Если отождествить дифференциал dx независимой переменной х с дифференциалом функции у = х, то дифференциал dx совпадает с приращением х независимой переменной х:
dx
= dy =
·х
= 1·х
= х. (3.15)
Учитывая соглашение (3.15), можно переписать теперь формулу (3.14), дающей определение дифференциала, в виде
(или
) (3.16)
– так ее обычно и пишут. Отсюда получается
. (3.17)
Таким образом, производную , которую мы раньше представляли как цельный символ, теперь можно трактовать как дробь и рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного. То обстоятельство, что слева здесь стоит вполне определенное число, в то время как справа мы имеем отношение двух неопределенных чисел dy и dх (ведь dх = х произвольно), не должно нас смущать: числа dy и dх изменяются пропорционально, причем производная как раз является коэффициентом пропорциональности.