5.5.4.1. Вертикальные асимптоты

Из определения асимптот следует, что если , или , или , то прямая x = a есть асимптота кривой y = f(x); и обратно, если прямая x = a есть асимптота, то выполняется одно из написанных равенств.

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот нужно найти такие значения x = a, при приближении к которым функция стремится к бесконечности. Тогда прямая x = a будет вертикальной асимптотой. Точкам x = a соответствуют разрывы функции f(x) второго рода. Например, кривая имеет вертикальную асимптоту x = с, так как ; (или ).

В точке x = с функция терпит разрыв второго рода (рис.26,а).

5.5.4.2. Горизонтальные асимптоты

Для того чтобы, например, при x → +∞, прямая y = d служила асимптотой для кривой f(x), очевидно (рис.26,b), необходимо и достаточно, чтобы было

или .

Таким образом, вопрос о горизонтальной асимптоте сводится попросту к вопросу об этом пределе.

Отдельно нужно искать подобный предел и при x → –∞; при этом может получиться и другая асимптота. Например, в случае кривой f(x) = arctg x (рис.8) имеем: ; .

Следовательно, для кривой f(x) = arctg x, при x → +∞ асимптотой является прямая , а при x → –∞ – прямая (рис.8).

5.5.4.3. Наклонные асимптоты

Предположим, что кривая f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx+d, например, со стороны положительной части оси Oх (рис.26,c). Определим числа k и d. Так как разность ординат лишь постоянным множителем (равным косинусу угла между асимптотой и осью Oх) разнится от расстояния δ ( , рис.26,с), то при x → +∞ одновременно с δ должна стремится к нулю и эта разность.

. (3.71)

Разделив на x, получим отсюда:

(так как ). (3.72)

Зная k, из равенства (3.71) находим d:

. (3.73)

Итак, для того чтобы прямая y = kx + d была асимптотой для данной кривой, необходимо выполнение условий (3.72) и (3.73). Обратное рассуждение покажет и их достаточность. Вопрос здесь сведется к последовательному разысканию пределов (3.72) и (3.73), которыми уже и определятся коэффициенты уравнения прямой y = kx + d, удовлетворяющей равенству (3.71) и, следовательно, обладающей свойством асимптоты.

Мы проводили исследования при x → +∞, но все рассуждения справедливы и при x → –∞. Поэтому для случая x → –∞ нужно повторить все исследование. При этом может получиться и другая асимптота по сравнению со случаем x → +∞. Например, в случае функции имеем при x → +∞

,

,

так что, со стороны положительных значений x, кривая приближается к асимптоте . Со стороны же отрицательных x получается другая асимптота . Действительно, при x → –∞ имеем

,

.

5.5.5. Схема исследования функции и построения графика

Для исследования функции y = f(x) и построения ее графика методом дифференциального исчисления целесообразно придерживаться следующей схемы:

1. Определить область D задания функции;

2. Проверить является ли функция четной, нечетной, периодической;

3. Установить точки разрыва функции и выяснить их характер исследованием односторонних пределов функции в данных точках. Для точек в которых функция обращается в бесконечность (точки разрыва второго рода) построить соответствующие вертикальные асимптоты;

4. Найти горизонтальную или наклонную асимптоты графика (и притом отдельно при x → +∞ и при x → –∞, если область D определения функции бесконечна в обе стороны);

5. Определить значения аргумента x   D, для которых производная обращается либо в нуль, либо в бесконечность, либо вовсе не существует (т.е. найти критические точки) и подвергнуть их исследованию на зкстремум;

6. Выяснить промежутки монотонности функции. Результаты удобно разложить в таблицы (см. ниже пример);

7. Определить значения x   D, для которых вторая производная равна нулю, и подвергнуть их исследованию на перегиб;

8. Выяснить промежутки сохранения направления выпуклости (вверх или вниз) графика функции. Результаты удобно разложить в виде таблицы.

9. Определить значение самой функции y = f(x), отвечающие значениям x   D для пунктов 3), 5), 7), а также на концах рассматриваемой области D. Результаты удобно разложить в виде таблицы (см. ниже пример) с указанием особенности вычисляемой точки графика: максимум; минимум; перегиб и др. К названным точкам графика при необходимости присоединяют еще и некоторые другие, например, точки пересечения графика с осями.

10. После нанесения на чертеж всех вычисленных точек пункта 9) через них проводят самый график, учитывая при этом все их особенности и вышеперечисленные пункты.

При исследовании конкретной функции отдельные этапы этой схемы могут быть расширены, другие же могут оказаться излишними или невыполнимыми. Например, вычисление тех значений х, при которых значение функции обращается в нуль.

Пример. Провести исследование и построить график функции

Будем следовать изложенной выше схеме.

1. Функция f(x) получает вещественное значение, лишь если х ≤ 0 или х > 2 и следовательно, D= (–∞, 0] U (2, +∞ );

2. Функция f(x) не является четной, нечетной и периодической;

3. Функция f(x) относится к классу элементарных и поэтому она непрерывна во всей области своего определения. Поэтому исследуем функцию на непрерывность в граничных точках области определения: а) так как , следовательно, функция f(x) в точке х = 0 непрерывна слева, б) так как , следовательно, справа от точки х = 2 функция f(x) имеет разрыв второго рода, а график функции имеет вертикальную асимптоту х = 2;

4. Выясним вопрос о существовании горизонтальной или наклонной асимптоты. При х

,

.

Отсюда вытекает, что со стороны положительных х, кривая приближается к асимптоте у = х + 1. Аналогично получается со стороны отрицательных х другая асимптота у = –х – 1:

= –1; (см. п.8.4.3);

5. Функция f(x) имеет только одну критическую точку х = 3, в ней производная обращается в нуль: . Знак производной в точке х = 3 меняется с минимума на плюс, следовательно, в данной точке – минимум. Производная обращается в нуль и при х = 0, но это – конец промежутка (–∞, 0] в котором мы функцию рассматриваем, и об экстремуме здесь не может быть и речи;

6. Производная имеет следующие области сохранения знака:

Область значений х	-∞ < x < 0	2 < x <3	3 < x < +∞
Знак f′′(x)	минус	минус	плюс
Поведение функции	Монотонно убывает	Монотонно убывает	Монотонно возрастает

7. Вторая производная не обращается в нуль ни в одной точке области определения функции и, следовательно, график функции не имеет точек перегиба;

8. Вторая производная больше нуля и при x < 0 и при x > 2, так что кривая обращена вогнотостью всегда вверх;

9. Вычислим значение функции для х = 3 (минимум) и х = 0 (граница области определения функции): f (3) ≈ 5,2; f (0) = 0;

Значение х	0	3
Значение f(х)	0	5,2
Значение	0	0
Особенности	Граница области определения	минимум

10. Теперь имеем достаточно данных для построения графика функции (рис.27).

Рис. 27