2. Степенная функция: (где  – любое действительное число). Область изменения х зависит от , она была указана в гл.1, §4, п.4.1. Придадим х приращение х, тогда новое значение у будет

,

так что

,

и

,

где . Если воспользоваться пределом (1.21), то получим

.

В частности,

1. если , то ,

2. если , то .

3. Показательная функция: (а > 0 и а 1, – ∞ < x < +∞). Здесь

.

Воспользовавшись пределом, указанным в гл.1, §6, п.6.4, найдем:

.

В частности, если , то и .

4. Логарифмическая функция: у = log_a x (0 < a  1, 0 < x <+). В этом случае

.

Учитывая, что получим . В частности, если у = ln x, то .

5. Тригонометрические функции. Пусть у = sin x, тогда

Пользуясь непрерывностью функции sin x и известным пределом получим

Аналогично найдем:

если у = cos x, то .

В случае имеем

Отсюда, как и выше,

Аналогично,

если то

1.3. Производная обратной функции

Прежде чем заняться вычислением производных от обратных тригонометрических функций, докажем следующую общую теорему.

Теорема. Пусть 1) функция в точке х = х₀ имеет конечную и отличную от нуля производную 2) для нее существует обратная функция х = g(y), непрерывная в соответствующей точке у = у₀, где . Тогда производная g(y_) также существует и равна .

Доказательство. Придадим значению у = у₀ произвольное приращение ∆y, тогда соответствующее приращение ∆x получит и функция x = g(y). Заметим, что при ∆y   и ∆x  . Имеем

.

Если теперь ∆y   по любому закону, то, в силу непрерывности функции x = g(y), и приращение ∆x  . Но тогда знаменатель правой части написанного равенства стремится к пределу , следовательно, существует предел для левой части, равный обратной величине ; он и представляет собой производную .

Итак, имеем формулу:

. (3.4)

Легко выяснить ее геометрический смысл. Мы знаем, что производная есть тангенс угла , образованного касательной к графику функции с осью Oх. Но обратная функция x = g(y) имеет такой же график, лишь независимая переменная для нее откладывается по оси Oу. Поэтому производная равна тангенсу угла , составленного той же касательной с осью Oу (рис.15).

Рис. 15

Таким образом, выведенная формула (3.4) сводится к известному соотношению , связывающему тангенсы двух углов  и , сумма которых равна .

Положим для примера у = а^х. Обратной для нее функцией будет x = log_а у. Так как (см. п.1.2, пример 3) , то по формуле (3.4),

в согласии с примером 4, п.1.2.

Переходя теперь к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, мы для удобства обменяем ролями переменные х и у, переписав формулу (3.4) в виде

(3.5)

6. Обратные тригонометрические функции

Рассмотрим функцию y = arcsin x (–1 < х < 1), причем –  у  . Она является обратной для функции x = sin y, имеющей для указанных значений у положительную производную  = cos y. В таком случае существует также производная и равна, по формуле (3.5),

корень мы берем со знаком плюс, так как cos y > 0.

Мы исключили значения х = ± 1, ибо для соответствующих значений у = ±  производная = cos y = 0.

Функция y = arctg x (–  х  ) служит обратной для функции х = tg y. По формуле (3.5)

Аналогично можно получить:

для y = arccos x (–1  х  1),

для y = arcctg x (–  х  +.