5.4. Интерполяционный полином Лагранжа

5.4.1. Установление функциональной зависимости

В этом разделе будет изложен способ воспроизведения функциональной зависимости между двумя переменными величинами х и у с помощью полинома.

Пусть в результате измерений в некотором опыте или наблюдении получены при разных значениях переменной величины (далее будем считать, что эти значения переменной величины пронумерованы в порядке возрастания, т.е. ) соответствующие значения переменной величины . Это соответствие можно представить в виде таблицы

х				...	...
у				...	...

Эту таблицу можно изобразить также и в виде n точек геометрического пространства , для которых упорядоченные пары (х_i,y_i), i = 1,2,…,n являются координатами этих точек в прямоугольной системе координат. Данную таблицу можно рассматривать как задание некоторой функциональной зависимости y = f(x) между переменными величинами х и у. Возникает задача воспроизведения функциональной зависимости y = f(x) между переменными величинами х и у в аналитическом виде.

Аналитическое выражение этой зависимости y = f(x) будем искать среди функций наиболее простого вида – полиномов. Искомый полином

должен удовлетворять условиям

, (3.54)

т.е. график его должен проходить через точки (рис.21).

Рис. 21

Из этих условий, представляющих собой систему п уравнений можно определить п коэффициентов полинома, а потому L_k (x) является полиномом степени, не выше, чем , т.е. k ≤ :

. (3.55)

После того, когда коэффициенты, а, следовательно, и сам полином будут найдены, то тогда можно приближенно находить значение функции (т.е. устанавливать соответствие между переменными величинами х и у) в точках х, которые лежат между точками x₁, x₂, … , x_n.

Нахождение значений функции у = для значений аргумента х, которые лежат между точками x₁, x₂, … , x_n , называется интерполяцией; числа x₁, x₂, … , x_n называются интерполяционными узлами, а полином – интерполяционным полиномом.

Чтобы найти интерполяционный полином , надо найти его коэффициенты: . Для нахождения этих n неизвестных коэффициентов в соответствии с условием (2), имеем систему n линейных уравнений

. (3.56)

Так как согласно условию все интерполяционные узлы разные, поэтому определитель этой системы

отличен от нуля (определитель Вандермонда). Следовательно, система совместна и имеет единственное решение при любых значениях у_i (i = 1,2,…n) в правых частях системы (система Крамера), т.е. коэффициенты интерполяционного многочлена находятся однозначно. Находя коэффициенты , из системы (3.56) и подставляя их значение в (3.55), получим искомый интерполяционный полином .

Пример. Построить полином не выше второй степени, который бы в точках x₁ = –1, x₂ = 0, x₃ = 3 приобретал бы, соответственно, значения y₁ = 13, y₂ = 6, y₃ = 9. Другими словами, искомый полином

должен быть построен в соответствии с таблицей

x	–1	0	3
y	13	6	9

Для нахождения неизвестных коэффициентов , аналогично общему случаю (3.56) получаем систему уравнений

(3.57)

Из второго уравнения этой системы сразу находим c₀ = 6.

Подставляя это значение с₀ в другие два уравнения системы (3.57) и сделав упрощения, приходим к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными

и отсюда получаем . Таким образом, искомый полином

.

Действительно,

Хотя этот способ нахождения интерполяционного полинома можно использовать во всех случаях, однако если число n большое, то решение системы (3.56) делается громоздким и занимает много времени.

Существует другой способ нахождения полинома , указанный Лагранжем, в котором нет необходимости решать систему уравнений (3.56).

Пусть соответствие между значениями переменных величин х и у задается таблицей

x	x1	x2	x3	…	xk	…	…	xn
y	y1	y2	y3	…	yk	…	…	yn

Необходимо построить интерполяционный полином , степени не больше n – 1 и для которого выполнены условия

. (3.58)

Будем искать полином в виде

= y₁l₁(x) + y₂l₂(x) +…+ y_kl_k(x) +…+ y_nl_n(x), (3.59)

где l_k(x), k = 1,2,…,n – полиномы степени не выше n – 1 и свойства, которых можно выразить так: в интерполяционном узле х = х_k полином l_k(x_k) равняется 1, а в других узлах l_k(x_j), где равняется нулю. Иначе говоря

(3.60)

причем . Требование (3.60) совместно с (3.59) обеспечивает выполнение условий (3.58).

Полиномы l_k(x) составим следующим образом:

l_k(x) = .

В числителе у этих полиномов отсутствует множитель (x – x_k), а в знаменателе – (x_k – x_k) для всех k = 1,2,…,n.

Легко убедиться, что данные полиномы есть полиномы степени не выше n – 1 и удовлетворяют требованию (3.60). Теперь подставляя их в (3.59) получим искомый полином

,

который дает решение поставленной задачи и называется интерполяционным полиномом Лагранжа.

Представим интерполяционный полином Лагранжа в более компактном виде. Для этого введем полином , который определяется равенством

= (х – х₁)(х – х₂)…(х – х_k-1)(х – х_k)(х – х_k+1)…(х – х_n).

Продифференцируем этот полином по х:

.

При x = x_k (k = 1,2,…,n) имеем

(х_k – х₁)(х_k – х₂)…(х_k – х_k-1)(х_k – х_k+1)…(х_k – х_n).

Тогда интерполяционный полином Лагранжа примет вид

= .

Окончательно

= . (3.61)

В качестве примера рассмотрим два частных случая полинома Лагранжа.

При n = 2 имеем две точки (х₁,у₁) и (х₂,у₂), и полином Лагранжа представляет в этом случае уравнение прямой , проходящей через две эти точки:

.

При n = 3 получим уравнение параболы , проходящей через три точки (х₁,у₁), (х₂,у₂) и (х₃,у₃):

.