Далее, вспоминая, что

мы можем переписать (3.52) в такой форме

Здесь остаточный член записан в форме Пеано. Отсюда видим, что при последовательные дифференциалы представляют собой, с точностью до факториалов в знаменателе, именно простейшие бесконечно малые члены соответственных порядков (относительно ) в разложении бесконечно малого приращения функции.

Если в (3.52) остаточный член записать в форме Лагранжа (3.49), то формула Тейлора (3.52) с остаточным членом в форме Лагранжа (3.49) является естественным обобщением формулы Лагранжа (3.34). Формула Лагранжа (3.34) конечных приращений получается из формулы (3.52) в частном случае n = 0.

5.3. Разложение по формуле Тейлора некоторых элементарных функций

Найдем разложение по формуле Тейлора многочлена степени n. Пусть

.

Тогда, поскольку для всех х из области определения функции, остаточный член и формула Тейлора (3.47) принимает вид Таким образом, формула Тейлора позволяет представить любой многочлен в виде многочлена по степеням (х – х₀), где х₀ – любое вещественное число. Если х₀ = 0, то

Всего проще выглядит формула Тейлора, если х₀ = 0:

. (3.53)

К этому частному случаю всегда можно свести дело, взяв х – х₀ за новую независимую переменную. Принято эту формулу Тейлора (3.53) с центром в точке х₀ = 0 называть формулой Маклорена.

Рассмотрим в виде примера некоторые конкретные разложения по этой формуле для элементарных функций.

1) Пусть = е^х; тогда Так как в этом случае ,..., , то по формуле (3.53)

Здесь и в дальнейшем остаточный член будем записывать в форме Пеано.

2) Если то так что

Поэтому, положив в формуле (3.55) имеем

3) Аналогично, при

Таким образом (если взять ):

4) , где  – вещественное число. Поскольку

формула Маклорена (3.53) имеет вид

В частном случае, когда – целое число, и мы получим известную из элементарного курса формулу бинома Ньютона

5) Тогда

Здесь 0! = 1.

Отсюда

6) Можно убедиться в том, что

так что ее разложение представится в виде

Формулы 1)  6) дают представление элементарных функций при малых значениях |x| с точностью до членов порядка n относительно малой величины х. Так как рассмотренные здесь функции имеют в окрестности точки х = 0 производные всех порядков, то мы ничем не стеснены в выборе числа n в формуле (3.53) и тем самым имеем возможность оценивать соответствующие элементарные функции с точностью до членов любого порядка n малости относительно малой величины х.

Для примера обратимся к формуле 1) разложения функции e^x. Вычислим при помощи этой формулы значения функции e^x при x > 0 и оценим погрешность таких вычислений. Для этого необходимо сделать оценку остаточного члена R_n+1(x), так как погрешность как раз и равна (по абсолютной величине) этому члену. Выбирая остаточный член в формуле Лагранжа

e^θx, где 0 < θ < 1

получим оценку погрешности: e^x.

В частности, если x = 0, .

Например, при n = 8 ошибка в вычислении не превосходит числа или 0,00001.

Отметим, что, каково бы ни было x, остаточный член  e^θx → 0 при n → ∞. Следовательно, при любом x, взяв достаточное число членов, мы можем вычислить e^x с любой степенью точности.

Таким образом, формула Тейлора является источником для построения приближенных формул совершенно иного типа по сравнению, например, с формулами §2, п.2.4; теперь мы умеем устанавливать границы погрешности, и располагаем формулами любой точности.