![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Розділ 4. Розвинення голоморфних функцій в ряди, нулі і особливі точки
- •Приклад 1. Оскільки для , то в півплощині ряд
- •3. Розвинення голоморфних функцій в ряд Тейлора.
- •Розвинемо в ряд Фур’є на проміжку . Для цього зауважимо, що . Тому, скориставшись розвиненням
- •7. Принцип максимуму модуля для голоморфних функцій.
- •14. Запитання для самоконтролю.
- •15. Вправи і задачі.
- •4.31. Обґрунтуйте формули:
7. Принцип максимуму модуля для голоморфних функцій.
Теорема
1.
Якщо
функція
є голоморфною в області
,
то її модуль не може приймати в
найбільше значення.
Доведення.
Припустимо протилежне, тобто що існує
точка
така, що
.
В деякому околі
точки
функція
розвивається в ряд Тейлора
.
Звідси
випливає, що для кожного
функція
розвивається в ряд Фур’є
.
На підставі рівності Парсеваля
.
Але
.
Тому
.
Отже,
для всіх
,
тобто
.
Суперечність. ►
Наслідок
1.
Якщо
функція
є голоморфною в обмеженій області
і неперервною на
,
то
.
Доведення.
Справді,
згідно з теоремою Вейєрштрасса
неперервна функція
приймає в
найбільше значення, яке мусить прийматися
на
на підставі принципу максимуму. ►
Наслідок
2.
Якщо
функція
є голоморфною в крузі
,
то
і функція
є зростаючою на
.
Доведення. Цей наслідок випливає безпосередньо з теореми 1. ►
Наслідок 3. Якщо функція є голоморфною в області і не має нулів в , то її модуль не може приймати в найменше значення.
Доведення.
Для
отримання цього наслідку досить
застосувати теорему 1 до функції
.
►
Приклад
1. Нехай
– довільна точка круга
.
Покажемо, що для всіх
виконується
.
Справді, нехай
,
.
Тоді для всіх
маємо
Тому на підставі наслідку 1 приходимо до потрібного висновку.
Приклад
2.
,
якщо
.
Справді, це випливає з рівностей
Приклад
3.
Для всіх
,
всіх
і кожної голоморфної в крузі
,
,
функції
виконується
.
Справді,
оскільки для кожного
виконується
,
то
,
звідки випливає потрібне.
Приклад
4. Для
всіх
,
всіх
і кожної голоморфної в крузі
,
,
функції
виконується
.
Справді,
це випливає з рівності
.
Приклад
5.
і
,
якщо
і
.
Справді,
.
Якщо
,
то
.
Але
,
,
,
,
.
Тому
для
всіх
.
Робимо
висновок, що
,
.
8. Ряд Лорана. Ряд
(1)
називається узагальненим степеневим рядом. Ряд (1) називається збіжним, якщо збіжним є кожний із рядів
,
.
Перший
з цих рядів є степеневим рядом і він
збігається в крузі
,
де
,
а другий зводиться до степеневого
заміною
.
Він збігається для тих z,
для яких
,
де
.
Отож,
узагальнений степеневий ряд (1) є збіжним
в кільці
.
Якщо
це кільце не є порожнім, то на кожному
компакті з нього збіжність є рівномірною,
а його сума є голоморфною функцією в
ньому.
Теорема
1.
Якщо
узагальнений степеневий ряд (1) збігається
в кільці
,
,
то його сума (функція
)
є голоморфною функцією в
і коефіцієнти
знаходяться
за формулою
,
(2)
і
останній інтеграл від
не залежить, де
– сума ряду (1).
Доведення.
Згідно з теоремою Абеля,
ряд (1) рівномірно збігається на кожному
компакті із кільця
.
Тому
функція
є голоморфною в
.
Отож, інтеграл (1) від
не
залежить. Для кожного
маємо
і
на
останній ряд збіжний рівномірно. Тому,
враховуючи що
отримуємо
,
звідки випливає (2). ►
Узагальнений
степеневий ряд (1), коефіцієнти
якого
визначені за формулою (2), називається
рядом Лорана в кільці
голоморфної
в цьому кільці функції
,
а також рядом Лорана функції
в околі точки
,
якщо
.
Теорема 2 (Лорана). Кожну голоморфну в кільці , , , функцію можна розвинути в цьому кільці в ряд Лорана
.
Доведення.
Нехай
– довільна точка. Візьмемо числа
і
так, щоб
На
підставі інтегральної формули Коші
.
(3)
Але
Р
ис.
1
і
для вибраного z
останній ряд на
збігається рівномірно, бо
.
Тому
=
.
(4)
Окрім цього,
,
і
для вибраного z
на
останній ряд збігається рівномірно, бо
.
Тому
Звідси та з (3) і (4) випливає твердження теореми 2. ►
Ряди
,
називають відповідно головною і голоморфною (правильною) частиною ряду Лорана функції в околі точки .
Теорема
3.
Кожну
функцію
,
голоморфну
в кільці
,
,
можна розвинути в цьому кільці в ряд
Лорана
(5)
і при цьому
.
(6)
Теорема
4.
Кожну
функцію
,
голоморфну в кільці
,
можна розвинути в цьому кільці в ряд
Лорана
(7)
і при цьому
.
(8)
Доведення. Ці дві теореми є частковим випадком теореми 1. ►
Рядом
Лорана функції
в околі
називається ряд (7), коефіцієнти якого
визначені за формулою (8). При цьому ряди
,
називаються відповідно головною і голоморфною (правильною) частиною ряду Лорана в околі .
Наслідок
1.
Для будь-яких
,
та
,
,
система
утворює базу простору
.
Приклад
1. Ряд
є збіжним у кільці
і є розбіжним поза замиканням цього
кільця.
Справді,
ряд
є степеневим і він є збіжним, якщо
,
бо, позначивши
,
отримуємо, що
,
,
.
Дослідження
ряду
зводиться
до дослідження степеневого ряду, бо
.
Якщо
,
то
,
,
і
тому останній ряд є збіжним, якщо
.
Приклад
2. Розвинемо
в ряд Лорана в околі точки
функцію
.
Маємо
,
і останній ряд збігається в крузі .
Приклад
3. Розвинемо
в ряд Лорана в околі точки
функцію
.
Маємо
,
і
останній ряд збігається в кільці
.
Приклад
4. Розвинемо
в ряд Лорана в околі точки
функцію
.
Маємо
,
і
останній ряд збігається в кільці
,
тобто в
.
Приклад
5.
Розвинемо
в ряд Лорана за степенями
функцію
.
Ця задача має декілька розв’язків, оскільки не вказано в якому кільці слід розвинути. Маємо
,
це
розвинення справедливе в
крузі
і
отриманий ряд Лорана співпадає з рядом
Тейлора розглядуваної функції в цьому
крузі. Далі,
і
останній ряд збігається в кільці
.
Крім цього,
і
останнє розвинення справедливо в кільці
.
Отож, ми отримали три ряди Лорана даної
функції за степенями
у відповідних кільцях, одне з яких
вироджується в круг. Формально
можна аналогічно отримати ще один ряд
Проте ряд
збігається в крузі , а ряд
в
кільці
і
.
Тому отримане розвинення не є справедливим
в жодному кільці.
9.
Особливі точки голоморфних функцій.
Особливою точкою функції
,
голоморфної в області
,
називається кожна точка
.
Особлива
називається ізольованою особливою
точкою функції
,
голоморфної в області
,
якщо
є голоморфною в деякім проколенім околі
точки
,
тобто, якщо деякий проколений окіл точки
належить
.
Особлива точка
функції
,
голоморфної в області
,
називається її усувною особливою точкою,
якщо існують область
і голоморфна в
функція
такі, що
і
.
Усувна особлива точка не є, фактично,
особливою точкою. Її можна усунути,
приписавши певне значення функції в
цій точці. Отож, якщо
– ізольована особлива точка функції
,
то
є голоморфною в деякім проколенім околі
точки
і
розвивається в цьому околі в ряд Лорана
,
,
,
Зокрема,
точка
є ізольованою особливою точкою функції
,
якщо можна вказати таке значення
,
що в області
функція не має особливих точок, що
знаходяться на скінченній відстані від
точки
.
Приклад
1.
Функція
є
голоморфною в області
.
Тому точка
є її особливою точкою. Функція
є
голоморфною в області
і
для
.
Тому точка
є усувною ізольованою особливою точкою.
Приклад
2.
Точки
,
є ізольованими особливими точками
функції
,
а точка
не є ізольованою особливою точкою цієї
функції.
Приклад 3. Ряд
(1)
є
збіжним в крузі
і функція
є голоморфною в цьому крузі. Сума цього
ряду для
дорівнює
.
Функція
є голоморфною в області
.
Точка
є її ізольованою неусувною особливою
точкою. Правда, можна було б розглядати
функцію (1) як функцію з
в
.
Тоді можна сказати, що кожна точка
є її особливою точкою. Всі точки
,
окрім
,
є усувними неізольованими особливими
точками функції
,
а точка
є неусувною особливою точкою. Цей приклад
показує, що при розгляді особливих точок
потрібно звертати увагу на область, в
якій дана функція розглядається. На це
вказує і наступний приклад.
Приклад 4. Функція
,
,
є
голоморфною в області
,
функція
,
,
є
голоморфною в області
і не є голоморфною в жодній іншій області
,
яка містить
.
Функція
,
,
є
голоморфною в області
і не є голоморфною в жодній іншій області
,
яка містить
.
Крім цього,
для
і
,
.
Кожна точка
є особливою точкою функції
.
Всі точки
,
крім
,
є усувними. Точка
є неусувною особливою точкою цієї
функції. Всі точки
,
є неусувними особливими точками функції
.
Всі точки
,
є неусувними особливими точками функції
.
Зауваження
1.
Для
кожної області
існує голоморфна в цій області функція
,
яка не є голоморфною в жодній іншій
області
(доведення дивись в [18]).
Зауваження 2. Приклад 4 показує, що для заданої функції , голоморфної в області не можна, взагалі кажучи, говорити про максимальну область , в яку можна продовжити як голоморфну функцію, оскільки таких областей може існувати декілька. Наприклад, для функції , розглянутої в прикладі 4, такими областями є, зокрема, області , , а також кожна інша область, яка отримується з шляхом викидання довільного променя з початком в точці . Водночас, для багатьох функцій максимальна область голоморфності існує і тоді така функція, якщо не вказано на інше, розглядається в цій максимальній області. Так часто буває, коли функція задана деякою формулою, яка містить тільки однозначні функції.
Зауваження
3. Розглянуті
вище приклади вказують на те, що є певні
труднощі з означенням особливих точок
голоморфних функцій. У наведеному вище
означенні роль області
є істотною. Кожна функція
,
голоморфна в області
,
є гілкою в
деякої повної аналітичної функції
і наведене вище означення особливої
точки функції, голоморфної в
,
трохи відрізняється від означення
особливої точки повної аналітичної
функції, про що говоритиметься далі.
10.
Критерій ізольованої усувної точки.
Точка а∂D
називається ізольованою точкою межі
області D,
якщо деякий її проколений окіл належить
D.
Наприклад, точка
ізольована точка межі області
.
Теорема
1.
Нехай точка
є ізольованою точкою межі області D, а
функція
є
голоморфною в області D. Тоді наступні
умови є еквівалентними: 1) точка
є усувною особливою точкою функції
;
2) існує скінченна границя
;
3) розвинення функції
в
ряд Лорана в околі точки
не містить головної частини, тобто ряд
Лорана є і рядом Тейлора.
Доведення
(за діаграмою (1231)).
Нехай
виконується 1). Тоді існує функція
,
яка є голоморфною в точці
і
в деякому проколеному околі точки
.
Тому
.
Звідси
випливає 2). Нехай виконується 2) і для
конкретності припустимо, що
.
Нехай
(1)
– коефіцієнти
ряду Лорана функції
в околі точки
.
Оскільки виконується 2), то
.
Тому з (1) отримуємо, що
.
Спрямувавши
до
,
отримуємо, що
для всіх
,
тобто 3) виконується. Якщо виконується
3), то сума ряду Лорана функції
в
околі точки
є
голоморфною функцією в цьому околі і
тому 1) виконується. ►
Приклад
1.
Переконаємось,
що точка
є усувною ізольованою особливою точкою
функції
.
Справді, ця функція є голоморфною в
області
,
точка
є ізольованою точкою межі області
і
.
Точка
є усувною особливою точкою функції
,
якщо розвинення в ряд Лорана функції
не
містить членів з додатними степенями
,
тобто
.
11. Критерій полюса. Полюсом функції , голоморфної в області D, називається така її ізольована особлива точка , для якої
.
(1)
Теорема
1. Для
того щоб точка
була полюсом функції
,
необхідно і достатньо, щоб ця точка
була нулем функції
.
Доведення. Ця теорема випливає безпосередньо з означень. ►
Порядком
полюса
функції
називається порядок нуля
функції
.
Якщо
,
то полюс називається простим.
Теорема
2.
Нехай
точка
є ізольованою точкою межі області D, а
функція
є голоморфною в D. Тоді наступні умови
є еквівалентними: 1) точка
є полюсом порядку
;
2)
подається у вигляді
,
де
– функція, голоморфна в точці
,
причому
;
3) лоранове розвинення функції
в околі точки
має вигляд
,
,
(2)
Доведення. Ця теорема випливає безпосередньо із означень та відповідної теореми для нулів. ►
Наступне твердження є аналогом теореми 3 для .
Теорема
3.
Нехай
точка
є ізольованою точкою межі області D, а
функція
є голоморфною в D. Тоді наступні умови
є еквівалентними: 1) точка
є полюсом порядку
;
2)
подається у вигляді
де
– голоморфна в
,
причому
;
3) ряд Лорана функції
в околі
має вигляд
,
.
Нагадаємо,
що функція
називається голоморфною в точці
,
якщо функція
є голоморфною в точці
.
Приклад
1. Точка
є полюсом четвертого порядку функції
.
Справді, функція
в точці
має простий нуль. Отже, подається у
вигляді
,
де
є голоморфною функцією в точці
і
.
Тому
і функція
є голоморфною в точці
і
.
Отож, і справді розглядувана функція
має в точці
полюс четвертого порядку.
Приклад
2.
Точка
є полюсом третього порядку функції
.
Розвинемо дану функцію в ряд Лорана в
околі
.
Маємо
.
і на підставі теореми 3 приходимо до потрібного висновку.
12.
Критерій суттєво особливої точки.
Суттєво
особливою або суттєво особливою точкою
функції
,
голоморфної
в області D,
називається така її ізольована особлива
точка
,
для
якої
не існує в
.
Теорема 1. Нехай – ізольована точка межі області D і функція є голоморфною в D. Для того щоб точка була суттєво особливою точкою функції , необхідно і достатньо, щоб головна частина її ряду Лорана в околі точки містила нескінченну кількість членів, відмінних від нуля.
Доведення. Справді, з попередніх теорем випливає, що суттєво особлива точка не може бути ні усувною, ні полюсом функції . У цих двох випадках, і тільки в них, головна частина ряду Лорана містить скінченне число членів. Звідси випливає потрібне. ►
Теорема
2
(Сохоцького-Вейєрштрасса).
Якщо
– суттєво особлива точка функції
,
голоморфної в області D, то для будь-якого
існує послідовність
така, що
,
i
.
Доведення.
Нехай спочатку
.
Функція
не
може бути обмеженою в жодному проколеному
околі точки
.
Тому в
для кожного
існує
таке, що
і, таким чином, так побудована послідовність
є шуканою. Нехай тепер
.
Якщо для кожного
рівняння
має
розв’язок
,
то послідовність
є
шуканою. Якщо рівняння
не має розв’язків в деякому проколеному
околі точки
,
то точка
є
суттєво
особливою точкою функції
.
Отже, за доведеним вище існує послідовність
,
збіжна до
,
така, що
.
Звідси випливає, що
,
що і доводить потрібне. ►
Приклад
1. Переконаємось,
що точка
є суттєво особливою точкою функції
.
Розвинемо дану функцію в ряд Лорана в
околі
.
Маємо
і на підставі теореми 1 приходимо до потрібного висновку.
Приклад
2. Знайдемо
всі особливі точки функції
.
Скінченними особливими точками даної
функції є
і
.
Запишемо функцію у вигляді
.
Але
.
Тому
є усувною особливою точкою. Щоб визначити
характер точки
,
розвинемо функцію
в
ряд Лорана
.
Звідси
випливає, що у головній частині ряду
Лорана є нескінченно багато членів, а
отже точка
є істотно особливою точкою для функції
.
Оскільки
,
то точка
є істотно особливою точкою для функції
f.
Далі
,
тобто
точка
є усувною особливою точкою.
Приклад
3. Знайдемо
всі особливі точки функції
та з’ясуємо
їх характер. Особливими точками є тільки
точки
і
.
Розвинемо функцію в ряд Лорана в кільці
.
Якщо цей ряд розглядати як ряд Лорана в околі точки , то в його головній частині нема членів, і тому є усувною особливою точкою. А якщо його розглядати як ряд Лорана в околі точки , то в його головній частині є нескінченно багато членів, і тому є істотно особливою точкою.
13. Особливі точки на межі круга збіжності степеневого ряду.
Теорема 1. Якщо степеневий ряд
(1)
має
радіус збіжності
,
то голоморфна в
функція f має принаймні одну неусувну
особливу точку
.
Д
оведення.
Припустимо, що всі точки
є
усувними. Тоді для точки
існують
круг
і
голоморфна в
функція
такі,
що
Рис. 1
для
кожного
виконується
.
Круги
покривають
.
Оскільки
є компактом, то існує скінченне підпокриття
,
причому перетин
для всіх
не є порожнім, де
і
.
Звідси та з теореми єдиності випливає,
що
для
.
Тому існує така (однозначна) голоморфна
в крузі
,
,
функція F,
що
,
якщо
.
Функція F
розвивається в
в
степеневий ряд, причому
.
Тому ряд (1) має радіус збіжності
.
Суперечність. ►
Наслідок 1. Якщо функція є голоморфною в області D, кожна точка межі області D є її неусувною особливою точкою і , то радіус збіжності ряду Тейлора
дорівнює відстані від точки до множини неусувних особливих точок функції .
Приклад
1.
–
радіус збіжності ряду Тейлора в околі
точки
функції
.
Справді,
ця функція є голоморфною в області
,
кожна точка
є її
неусувною особливою точкою. Тому
.
Зауваження
1.
Для
функції
,
голоморфної в області
,
і точки
маємо розвинення
,
і
– радіус збіжності останнього ряду.
Точка
– єдина скінченна особлива точка функції
,
.
Водночас, відстань від точки
до
дорівнює
.
Це вказує на істотність в наслідку 1
вимоги, щоб кожна точка
була неусувною особливою точкою.
Приклад 2. Існують такі степеневі ряди, для яких кожна точка круга збіжності є неусувною особливою точкою його суми. Прикладом може служити ряд
.
Справді,
ця функція є голоморфною в крузі
і
при
,
бо при всіх
i
.
Але
.
Тому
при
.
Аналогічно,
і тому
,
.
Але
в будь-якому околі кожної точки
є нескінченно багато точок виду
,
,
.
Тому кожна точка
є неусувною особливою точкою функції
.
Якщо
функція
є голоморфною в області D
і не існують область D1
і голоморфна в D1
функція
такі,
що
,
i
при
,
то кажуть, що
є природною межею функції
.
Можна довести, що межа кожної області
є природною межею деякої голоморфної
в цій області функції
.