- •Розділ 4. Розвинення голоморфних функцій в ряди, нулі і особливі точки
- •Приклад 1. Оскільки для , то в півплощині ряд
- •3. Розвинення голоморфних функцій в ряд Тейлора.
- •Розвинемо в ряд Фур’є на проміжку . Для цього зауважимо, що . Тому, скориставшись розвиненням
- •7. Принцип максимуму модуля для голоморфних функцій.
- •14. Запитання для самоконтролю.
- •15. Вправи і задачі.
- •4.31. Обґрунтуйте формули:
3. Розвинення голоморфних функцій в ряд Тейлора.
Теорема 1 (Тейлора). Якщо функція є голоморфною в крузі , то вона єдиним чином розвивається в збіжний в цьому крузі степеневий ряд .
Доведення. Нехай – довільне число. Тоді існує таке, що і . На підставі інтегральної формули Коші
. (1)
Але
,
якщо , то . Тому на останній ряд збігається рівномірно. Отож, з (1) отримуємо
,
звідки випливає потрібне. ►
Теорема 2. Наступні умови є еквівалентними: 1) функція є голоморфною в точці ; 2) функція має похідну в деякому околі точки ; 3) функція має в точці неперервну похідну; 4) функція має в точці похідну будь-якого порядку ; 5) функція розвивається в деякому околі точки в ряд Тейлора; 6) існує послідовність поліномів, яка рівномірно збігається до в деякому околі точки ; 7) функції і є -диференційовними в деякому околі точки і в цьому околі виконуються умови Коші-Рімана
Доведення. Ця теорема випливає з теорем 1, 2.1, 3.9.2 та 2.2.1. ►
Теорема 2 показує, що можна дати різні еквівалентні означення функції, голоморфної в точці.
Наслідок 1. Кожна голоморфна в області , функція розвивається в збіжний в цій області ряд
,
де
, .
Останній ряд називається рядом Тейлора функції в околі .
Наслідок 2. Якщо функція є голоморфною в крузі , , , і для всіх , то , .
Наслідок 3. Для того, щоб функція була голоморфною в крузі , необхідно і достатньо, щоб вона розвивалась в збіжний в цьому крузі степеневий ряд
. (2)
Наслідок 4. Для того щоб функція була голоморфною в точці , необхідно і достатньо, щоб вона розвивалась в збіжний в деякому околі точки степеневий ряд (2).
Множина функцій , голоморфних в області , називається базою (базисом) простору , якщо кожну функцію , голоморфну в , можна єдиним чином розвинути в ряд
, ,
рівномірно збіжний на кожному компакті з .
Наслідок 5. При будь-якому і будь-якому множина є базою простору . Множина є базою простору для будь-якого .
Наслідок 6. Справедливі розвинення:
а) , ,
б) , ,
в) , ,
г) , ,
д) , ,
е)
,
де – голоморфна гілка в , для якої .
Доведення. Справді, написані функції є голоморфними у вказаних областях. Тому розвиваються в них в ряд Тейлора. Знайшовши коефіцієнти за формулою приходимо до написаних розвинень. ►
Приклад 1. Справедливі рівності
, , , ,
де функції та визначені так само, як і в наслідку 6. Справді, з розвинень б), в), д) та е) маємо, що
, ,
, ,
, ,
, .
Приклад 2. Якщо , то
і останній ряд збігається для всіх .
Приклад 3. Розвинемо в ряд Тейлора в околі точки функцію . Маємо
причому останній ряд збігається в крузі .
Приклад 4. Напишемо перші два члени розвинення в ряд Тейлора в околі точки функції . Маємо , . Тому
Приклад 5. Для кожного функцію
.
Розвинемо в ряд Фур’є на проміжку . Для цього зауважимо, що . Тому, скориставшись розвиненням
,
отримуємо
.
Приклад 6. Покажемо, що розвинення д) з наслідку 6 справедливе на множині . Справді, для кожного ряд
рівномірно збігаться на . Тому
.
З іншого боку, , бо функція є голоморфною, а тому і неперервною в .
Приклад 7. Переконаємось, що функція має похідну в точці тоді і тільки тоді, коли функції та , як функції двох змінних, є диференційовними в цій точці і
Якщо ці умови виконані, то
Справді, нехай – одиничний вектор нормалі до кола в точці , а – одиничний вектор дотичної до цього кола в цій же точці напрямлений так, що Тоді , ,
,
,
де – голоморфна гілка в , для якої . Аналогічно, , . Звідси та з теореми 2.2.1 випливає потрібне.
4. Нулі і множини єдиності. Нулем функції називається таке число , для якого , тобто нуль функції – це число, яке є розв’язком рівняння .
Теорема 1 (єдиності). Якщо множина нулів голоморфної в області функції має граничну точку, яка належить , то , .
Доведення. Нехай – гранична точка множини нулів, а – така послідовність нулів функції , що і . Нехай – відстань від точки до . Тоді в крузі функція є голоморфною і розвивається в ньому в степеневий ряд
,
звідки
.
Звідси, спрямувавши до , отримуємо і тому
.
Перейшовши і в цій рівності до границі отримаємо . Аналогічно показуємо, що і т.д. Отже, всі . Тому , . Нехай тепер – довільна точка області . З’єднаємо точки і ламаною . Оскільки – компакт, то відстань між і є додатною і . Візьмемо на точки , , так, щоб , і довжина частини ламаної, яка лежить між точками була меншою за . Тоді , де і за доведеним вище є граничною точкою нулів функції . В деякому крузі , функція є голоморфною. Тому , якщо , і є граничною точкою нулів функції. Оскільки має скінченну довжину, то за скінченне число кроків ми прийдемо до круга і покажемо, що в цьому крузі. Тому і теорема доведена. ►
Наслідок 1. Якщо функції і є голоморфними в області і для всіх з деякої множини, яка має граничну точку в області , то для всіх .
Ця теорема є іншим формуванням теореми 1.
Наслідок 2. Якщо функція є голоморфною в області , то на кожному компакті з вона має скінченну кількість нулів або зовсім їх не має.
Приклад 1. Теорему єдиності можна застосувати до доведення різних формул. Наприклад, доведемо, що , . Для цього розглянемо функції і . Ці функції є голоморфними в , тобто є цілими, для . Тому на підставі теореми єдиності для всіх і розглядувана формула доведена.
Приклад 2. Покажемо, що не існує голоморфної в крузі функції такої, що
Справді, функція є голоморфною в і . Множина має граничну точку . Тому, якщо , , то , . Але . Отже, такої функції не існує.
Приклад 3. Нехай – голоморфна гілка функції в області , для якої . Тоді для всіх .
Справді, функції та є голоморфними в , для розглядувана формула справедлива, бо для таких символи та означають те ж, що і в дійсному аналізі. Разом з цим, зауважимо, що
, .
Тому . Отже, для формула не обов’язково справедлива. Це пов’язано з тим, що функція не є голоморфною в . Можемо стверджувати також, що існують такі і , що .
Приклад 4. Нехай – голоморфна гілка функції в області , для якої . Тоді для всіх та всіх . Справді, нехай є довільним фіксованим числом. Функції та , як функції змінної , є голоморфними в , і для розглядувана формула справедлива. Робимо висновок, що вона справедлива для всіх та всіх . Нехай тепер є довільним фіксованим числом. Функції та є голоморфними в , як функції змінної , і для кожного розглядувана формула справедлива. Робимо висновок, що вона справедлива для всіх та всіх .
5. Порядок нуля. Нехай функція є голоморфною в області . Нуль функції називається нулем скінченного порядку, якщо існує таке число , що
, . (1)
При цьому це число називається порядком нуля . Нуль називається нулем нескінченного порядку, якщо
. (2)
Нуль порядку називається простим нулем.
Теорема 1. Нехай функція є голоморфною в області . Тоді наступні умови є еквівалентними:
1) в точці функція має нуль порядку ;
2) функція подається у вигляді , де – така голоморфна функція в точці , що ;
3) розвинення функції в ряд Тейлора в околі точки має вигляд
. (3)
Доведення. Справді умови 1) і 3) є еквівалентними, бо . Умови 2) і 3) також є еквівалентними, бо, якщо виконується 3), то
і, позначивши отримуємо 2). З іншого боку, якщо виконується 2) і
,
то
,
звідки випливає 3) і теорема 1 доведена. ►
Теорема 2. Нехай функція є голоморфною в області . Тоді наступні умови є еквівалентними:4) в деякій точці функція має нуль нескінченного порядку; 5) , .
Доведення. Справді, якщо виконується 4), то всі коефіцієнти рівні нулеві. Тому в деякому околі точки і на підставі теореми єдиності , . Навпаки, якщо 5) виконується, то всі похідні функції рівні нулеві. Тому виконується 4). ►
Нехай функція є голоморфною в області і . Точка називається нулем порядку функції , якщо є порядком нуля функції .
Теорема 3. Нехай функція є голоморфною в області і . Тоді наступні умови є еквівалентними:
6) в точці функція має нуль порядку ;
7) подається у вигляді , де – голоморфна і ;
8) розвинення функції в ряд Тейлора в околі має вигляд
.
Доведення. Ця теорема безпосередньо випливає з теореми 1. ►
Нехай – множина нулів функції , голоморфної в області , а – кратність нуля . Множина всіх упорядкованих пар називається дивізором нулів функції , а послідовністю нулів функції називається послідовність побудована так: , . Кількістю нулів функції на множині називається число , тобто .
Приклад 1. Знайдемо порядок нуля функції . Оскільки і то в розглядуваній точці дана функція має простий нуль.
Приклад 2. Знайдемо нулі функції
та їх порядки. Функція має нулі в точках , , і тільки в них. Оскільки і , то в усіх точках функція має прості нулі. Тому подається у вигляді , де – функція, голоморфна в точці і . Функція має нулі в точках та і тільки в них, в точці має нуль порядку , а в точці нуль порядку . Робимо висновок, що , та і функції , та для є голоморфними в точках , та , , відповідно, і їх значення у вказаних точках є відмінними від 0. Тому функція має нуль дев’ятого порядку в точці , нуль третього порядку в точці та прості нулі в точках , .
6. Нерівність Коші. Теорема Ліувілля.
Теорема 1. Нехай функція є голоморфною в крузі , , – її тейлорові коефіцієнти, . Тоді справедливі нерівності Коші:
Доведення. Справді,
Звідси випливає, що
,
що і потрібно було довести. ►
Теорема 2 (Ліувілля). Якщо функція є цілою і обмеженою в , то є сталою.
Доведення. Справді, оскільки обмежена, то . Тому при всіх маємо . Із нерівностей Коші при всіх і отримуємо, що . Спрямувавши до звідси одержуємо, що для всіх . Отже, при всіх , тобто є сталою функцією. ►
Теорема 3 (Ліувілля). Якщо функція є цілою і
,
то – поліном, степінь якого не перевищує .
Доведення цієї теореми аналогічне до доведення теореми 2. ►
Приклад 1 (основна теорема алгебри). Кожний поліном степеня має в принаймні один нуль. Справді, якщо припустити протилежне, то функція буде цілою і обмежено в , а тому є сталою. Отже, – многочлен нульового степеня. Суперечність.