7. Принцип збереження області для аналітичних функцій.

Теорема 1. Якщо функція є аналітичною в області D, то множина є областю.

Доведення. Нехай спочатку f є голоморфною в D. Тоді f – неперервна в D і G є зв’язною множиною. Якщо – така точка області D, що , то

де і . Тому на підставі теореми про неявну функцію звуження відображення на деякий окіл точки , , має обернене відображення. Отже, належить G разом з деяким своїм околом. Нехай тепер , a за деякого . Тоді функція f подається у вигляді , де – голоморфна в точці і . Отож, в деякому околі z₀ існує однозначна гілка функції . Нехай . Тоді i . Тому, f є композицією відображень , i . На підставі властивостей цих відображень робимо висновки, що і в цьому випадку точка належить разом з деяким своїм околом, тобто – область. Нехай тепер – довільна аналітична функція. Тоді G є об’єднанням значень канонічних елементів функції. Отже, є відкритою зв’язною множиною, тобто є областю. ►

Функція f, для якої образом відкритої множини є відкрита множина називається відкритим відображенням. Отже, кожна аналітична функція є відкритим відображенням.

8. Принцип максимуму модуля для аналітичних функцій.

Теорема 1. Нехай функція f є аналітичною в області і не є сталою. Тоді функція не приймає в найбільше значення.

Доведення. Справді, припустимо, що множина має найбільший елемент . Але є областю. Тому існує таке, що . Суперечність. ►

Наслідок 1. Якщо функція f є аналітичною в області D і є однозначною неперервною функцією в , то .

Наслідок 2 (лема Шварца). Якщо функція f є голоморфною в крузі і: а) ; б) , то і . Якщо, окрім цього, виконується в) або г) , то .

Доведення. Нехай . Тоді є голоморфною в і

. Cпрямувавши r до 1 отримуємо, що , звідки випливають потрібні твердження першої частини наслідку 1. Якщо виконується в) або г), то на основі принципу максимуму отримуємо, що є сталою, модуль якої дорівнює одиниці, чим завершуємо доведення наслідку 1.►

9. Принцип симетрії.

Теорема 1. Нехай функція є голоморфною в області і неперервною в і містить деякий відкритий проміжок . Тоді функція допускає аналітичне продовження в область , де – область, симетрична до області відносно дійсної осі, і це продовження визначається рівністю

Доведення. Справді, функція f є неперервною в G. Крім цього, для кожного

,

тобто голоморфна в . За теоремою про усунення відрізка є голоморфною в G і теорема доведена. ►

Приклад 1. Нехай

,

.

Функції f₁ i f₁^* є голоморфними в заданих областях. Межі цих областей мають спільний проміжок – дійсну вісь. Оскільки для будь-якого x<0

то, довизначивши f₁ i f₁^* на від’ємній частині дійсної осі, матимемо, що f₁^* є аналітичним продовженням f₁.

Приклад 2. Нехай , , . Знайдемо аналітичне продовження функції f₁ з в через і .

Довизначимо f₁ на і :

, .

Оскільки значення функції f₁ на і лежать відповідно на і , то шуканими продовженнями є:

, .

Використовуючи дробово-афінне відображення із теореми 1 отримуємо наступне твердження.

Теорема 2. Нехай області і є однозв’язними і їх межі є замкненими жордановими кривими, які містять дуги і кіл в відповідно. Тоді кожна голоморфна в і неперервна в функція така, що і , допускає аналітичне продовження в область , де – область симетрична до відносно кола, дугою якого є і , причому є однолистою , якщо є однолистою в , де –область симетрична до відносно кола дугою якого є .

За допомогою цієї теореми можна довести наступне твердження.

Теорема 3. Якщо функція є таким конформним і однолистим відображенням верхньої півплощини на внутрішність обмеженого многокутника q з кутами , при його вершинах , що точки , , є прообразами вершин , то існують сталі , і , за яких

.

Якщо , то остання формула залишається справедливою, якщо в ній взяти . Ця ж формула залишається справедливою, якщо кутом між прямими в ∞ вважати взятий зі знаком мінус кут між ними в точці їх перетину. При цьому повинна зберігатися рівність .

Відображення зовнішності багатокутника на задається

рівністю:

,

де а – довільна точка із .

Приклад 3. Знайдемо функцію, яка конформно і однолистно відображає область (зовнішність хреста) на . Для цього розглянемо функції , , , де –гілка відповідної багатозначної функції в , яка в точці 1 приймає значення 1. Функція відображає на , переходить в і переходить в . Тому розглядувана функція задовольняє умови принципу симетрії Отже, допускає аналітичне продовження в і отримана функція відображає на зовнішність відрізка . Функція відображає зовнішність відрізка на зовнішність відрізка , а відповідна гілка функції переводить останню область на зовнішність одиничного кола. Отже, шуканим відображенням є функція .

10. Інтегральне означення логарифма. Нехай

. (1)

Цю рівність слід розуміти так. Розглядається багатозначна функція , для якої образом кожної точки є ті w, для яких існує спрямлювальний шлях з початком в точці і кінцем в точці такий, що і

.

Теорема 1. , тобто

.

Доведення. Справді, . Окрім цього, на підставі теореми Коші переконуємось, що можна розглядати тільки ті шляхи, які є об’єднанням кола, , , , (яке обходиться -раз в додатному напрямку, якщо , і у від’ємному, якщо ) та одного з гладких шляхів , який має початок в точці 1, а кінець в точці z і лежить в деякій однозв’язній області D (за D можна взяти одну з областей або ), яка не містить точки 0. Враховуючи, що

,

маємо

, (2)

де

. (3)

В кожній з областей і інтеграл (3) не залежить від шляху інтегрування. Тому функція  є голоморфною в кожній з цих областей, причому . Оскільки, , то , де – та гілка в або , яка в точці 1 приймає значення 0. Оскільки , то звідси і з (2) отримуємо потрібне твердження. ►

Теорема 2. Нехай – довільна точка. Тоді для , тобто

.

Доведення цієї теореми повторює доведення попередньої.►

Наслідок 1. Нехай і – два комплексні числа, які можуть бути і рівними, і – їх відстані від початку координат, – спрямований шлях з початком в точці а і кінцем в точці b, який не проходить через початок координат, – деяка гілка в . Тоді допускає аналітичне продовження вздовж і результат аналітичного продовження має вигляд

.

Доведення. Це справді так, бо .►

Наслідок 2. Нехай і – два комплексні числа, які можуть бути і рівними, і – деякі гілки в і відповідно, де i . Тоді існує спрямлюваний шлях такий, що є аналітичним продовженням вздовж .

Доведення. Справді, нехай – спрямлюваний шлях, який з’єднує точки і і не проходить через початок координат, а – результат аналітичного продовження вздовж і . Тоді шуканим шляхом є шлях, який є об’єднанням кола , , , і шляху .►

Наслідок 3. Функція є повною аналітичною функцією.

11. Особливі точки і особливі елементи аналітичних функцій. Точка називається досяжною для області , якщо існує неперервний шлях такий, що і . Кожний такий шлях називається досяжнувальним шляхом точки . Правильною точкою повної аналітичної функції з голоморфними елементами називається така упорядкована пара точки і її досяжнувального шляху, що деякий канонічний елемент функції з центром в точці допускає аналітичне продовження вздовж . Особливою точкою або особливим елементом першого роду повної аналітичної функції з голоморфними елементами називається упорядкована пара досяжної точки для області і її досяжного шляху такого, що деякий канонічний елемент функції з центром в точці не можна продовжити вздовж , але можна продовжити вздовж звуження на кожний проміжок . При цьому дві особливі точки і називаються рівними, якщо для кожного існує таке, що при всіх результати аналітичних подовжень вздовж звужень і на канонічних елементів функції з центрами в точках і , відповідно, можна продовжити один в одного вздовж деякого шляху такого, що . Дві правильні точки і називаються рівними, якщо і результати аналітичних продовжень деяких канонічних елементів вздовж і співпадають. Якщо – особлива або правильна точка повної аналітичної функції , то кажуть, що вона лежить над точкою . Над однією точкою може лежати не більше, ніж зліченна (див. далі теорему Пуанкаре) кількість різних таких точок, причому можуть лежати як правильні так і особливі точки. В цьому переконуємось на прикладі функції і точки .

12. Ізольовані особливі точки повної аналітичної функції. Нехай – повна аналітична функція з голоморфними елементами. Особлива точка функції називається ізольованою особливою точкою, якщо існує проколений окіл точки такий, що деякий канонічний елемент функції з центром в точці можна продовжити вздовж будь-якого неперервного шляху, який лежить в . Ізольована особлива точка називається ізольованою особливою точкою однозначного характеру, якщо існує проколений окіл точки такий, що для кожного ( , якщо ) продовження вздовж кола , , деякого канонічного елемента з центром в точці призводить до того ж канонічного елемента. В протилежному випадку точка називається ізольованою особливою точкою багатозначного характеру або точкою розгалуження. Якщо точка є ізольованою особливою точкою однозначного характеру, то в деякому проколеному околі точки існує голоморфна гілка функції , для якої точка є полюсом або суттєво особливою точкою. Якщо точка є точкою розгалуження, то при всіх досить малих (великих, якщо ) в не існує голоморфної гілки. Точка розгалуження називається точкою розгалуження порядку , якщо для кожного достатньо малого (великого, якщо ) результатом аналітичного продовження деякого канонічного елемента функції з центром в точці по колу , є той же канонічний елемент . Точка розгалуження, яка не є точкою розгалуження жодного порядку називається точкою розгалуження нескінченого порядку, а також трансцендентною або логарифмічною точкою розгалуження. За означенням, точки розгалуження порядку 0 – це ізольовані особливі точки однозначного характеру голоморфних гілок, які розглядались раніше.

Теорема 1. Якщо точка є точкою розгалуження функції порядку , то в деякому проколеному околі точки (ці рівності слід розглядати як рівності між множинами)

,

.

Ця теорема випливає безпосередньо з означень.

Алгебраїчною особливою точкою функції називається точка розгалуження порядку , , для якої існує таке, в деякому проколеному околі точки

,

.

Приклад 1. Над точкою лежить одна трансцендентна точка розгалуження функції .

Приклад 2. Над точкою лежить одна особлива точка однозначного характеру функції , а над точками і по одній точці трансцендентній особливій точці.

Приклад 3. Над точкою лежить одна алгебраїчна точка функції . Точка є трансцендентною, але не є алгебраїчною особливою точкою функції .

13. Голоморфні гілки. Однозначною гілкою в області , багатозначної функції F називається така однозначна функція , що . Якщо є голоморфною функцією в D, то називається голоморфною гілкою F в .

Теорема 1. Нехай – деяка загальна аналітична функція. Для того щоб існувала голоморфна гілка в області D функції F, необхідно і достатньо, щоб результат аналітичного продовження деякого канонічного елемента з центром в точці функції F вздовж будь-якого замкненого жорданового шляху, який лежить в , співпадав з .

Доведення. Необхідність є очевидною. Для доведення достатності зауважимо, що з умов теореми випливає незалежність результату аналітичного продовження в кожну точку від шляху з , вздовж якого здійснюється продовження. Позначимо через F функцію визначену так: , якщо w є значенням в точці z результату аналітичного продовження вздовж деякого шляху з . Зі сказаного вище випливає, що F є однозначною голоморфною функцією в і виконується (1). Тому теорема 1 доведена. ►

Однозначну гілку функції F в області інколи позначають через , а її значення в точці z – через або .

Кажуть що в області , багатозначна функція F розпадається на однозначні гілки, якщо існують послідовність областей і послідовність однозначних в гілок функції F такі, що для кожного і кожного знайдеться таке, що і .

Приклад 1. Якщо , , то розпад цієї функції утворюють області , , , разом зі заданими в них функціями і , відповідно.